状態遷移行列を使用して、状態空間の再現からシステムのインパルス応答を見つけるにはどうすればよいですか？

標準状態空間表記で表される線形があると仮定します。

\dot{バツ} （ t ） = A バツ （ t ） + B あなたは （ t ）

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y （ t ） = C バツ （ t ） + D あなたは （ t ）

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

インパルス応答を取得するために、ラプラス変換を取得することができます

s バツ = A バツ + B うん

$sX=AX+BU$

Y = C バツ + D うん

$Y=CX+DU$

そして、次の伝達関数を解きます

\frac{Y}{うん} = C （ s 私 - A ）^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

同様に、離散システムの場合、の変換 $\mathcal{Z}$

バツ [n + 1] = A バツ [n] + B あなたは [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C バツ [n] + D あなたは [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

は

\frac{Y}{うん} = C （ z 私 - A ）^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

このプロセスは少し長く思われ、各ペアの最初の方程式の $x$ の解である状態遷移行列を使用してインパルス応答を見つける方法があることを覚えています。誰もこれを行う方法を知っていますか？

impulse-response state-space linear-systems

— フォノン
ソース

最初の方程式で標準の非均質ODEを解くことにより、状態遷移行列を使用して問題にアプローチできます。の解は $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

バツ （ t ） = {バツ}_{0} e^{A t} + \int_{0}^{t} e^{A （ t - t^{'} ）} B あなたは （ t^{'} ） d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

ここで、。量は状態遷移行列（同種ODEの解とも呼ばれ）と呼ばれ、呼びますこれの標準表記は思い出せません）。をとると、方程式は次のようになります。 $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y （ t ） = C \int_{0}^{t} Ξ （ t - t^{'} ） B あなたは （ t^{'} ） d t^{'} + D あなたは （ t ）

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

上記の式は、システムのインパルス応答で畳み込まれた入力としての出力を提供します。実際、上記の式のラプラス変換を使用して検証できます。のラプラス変換はあり、時間領域の畳み込みはs領域の積になることに注意して、 $\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C （ s 私 - A ）^{- 1} B うん + D うん

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

質問と同じ伝達関数が得られます。

完全なラプラス変換アプローチについてのあなたのコメントについては、必ずしもそうだとは限りません。ただし、状態遷移行列アプローチは、それを含むいくつかの操作を単純な行列乗算で計算できるため、実装が簡単になる場合があります。

— ロレムイプサム
ソース

とてもいい説明。

— ジェイソンR