コサインとサインのフーリエ変換の導出

では、この答えは、ジム・クレイは書いています：

...という事実を使用します...$\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$

上記の式は、。$\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$

フーリエ変換の標準定義を使用して、後の式を取得しようとしていますしかし、結局私が表現するのは、明らかに答えとはまったく異なる表現です。$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

これが私の作品です：

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

これは私が行き詰まっているところです。

フーリエ変換の問題を除いて、あなたの仕事は大丈夫です $\cos(2\pi f_0 t)$通常の意味で存在していない機能の$f$、そして我々は概念を拡張して、いわゆる分布、またはインパルス、またはディラックデルタを含める必要があります。 フーリエ変換のために満たす必要がある条件について読む$X(f)$ 信号の $x(t)$ （通常の意味で）存在し、あなたはそれを見るでしょう $\cos(2\pi f_0 t)$ 通常の意味でのフーリエ変換はありません。

あなたの特定の質問に目を向けると、インパルスは、それらが積分で被積分関数としてどのように振る舞うかという観点でのみ定義されることを理解すると、 $a < x_0 < b$、

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ それを条件として $g(x)$ で継続的です $x_0$、それからのフーリエ変換を推定する方が簡単です $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ という事実を熟考することによって $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ そしてそれはそれでなければなりません $\cos(2\pi f_0 t)$は、の逆 フーリエ変換です$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$。

次に、フーリエ変換ペアの表を使用して、それを確認します$\delta(t) \leftrightarrow 1$、および変数置換（$f_1 = f+f_0$ そして $f_2 = f-f_0$）、必要なものを取得します。