それで、フーリエ変換を理解するようになりました。直感的に今、私はそれが何をするのかを明確に理解しており、すぐに数学のいくつかのクラスに従います（したがって、実際の主題です）。しかし、それから私はラプラス変換について読み続けて、そこでそれをちょっと失います。信号の瞬間は何ですか？フーリエ変換がラプラス変換の特別なケースであるのはなぜですか？ラプラス変換にどのように対処できますか？
私がこの質問をする前に、これらのソースを調べました。
回答:
フーリエ変換について理解している場合は、おそらく信号を周波数領域に変換する概念モデルがすでにあるはずです。ラプラス変換は、信号の代替周波数領域表現を提供します。通常、それを他の周波数領域変換（Z変換など）と区別するために「Sドメイン」と呼ばれ、これは本質的にラプラス変換に相当するものです。
信号の瞬間は何ですか？
ご存じのとおり、ラプラス変換は瞬間からの信号の説明を提供します。フーリエ変換が位相と振幅からの説明を提供するのと同様です。
大まかに言えば、瞬間はサンプルが信号の平均値からどのように逸脱するかと考えることができます-最初の瞬間は実際には平均、2番目は分散などです（これらはまとめて「分布の瞬間」として知られています）。
関数F（t）が与えられると、t = 0でn番目の導関数を計算してn番目のモーメントを与えることができます。信号が位相と振幅を使用して完全に記述できるのと同様に、信号はそのすべての導関数によって完全に記述できます。
フーリエ変換がラプラス変換の特別なケースであるのはなぜですか？
二国間ラプラス変換を見てみると、
を代入すると、おなじみのフーリエ変換方程式が得られることは明らかです。
この関係についてはいくつか注意事項があります（http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform）が、数学は非常に透過的です。
フーリエ変換がラプラス変換の特別なケースであるのはなぜですか？
ラプラス変換は複素数値の2D曲面を生成し、フーリエ変換は複素数値の1D線を生成します。フーリエ変換は、jω軸に沿ってラプラス変換をスライスしたときに得られるものです。たとえば、単純なローパスフィルターは、原点の左側のS平面に単一の極を持っています。
側面から見ると、このラプラス変換のマグニチュードは表面を形成し、極はそのポイントで振幅を無限大に上げるテント極のように機能します（そして無限遠で暗黙のゼロは振幅をゼロから遠くまでゼロに落とします）あなたが任意の方向で得る起源）：
ここで、jω軸のみに沿って表面の値を取得すると、それがフーリエ変換になります。これは上の画像の赤い曲線で、ローパスフィルターを形成していることがわかります。極を原点から遠ざけると、テントは同じ方向に移動し、jω軸に沿ったスライスが下がり、ゲイン（全体のゲインを追加することで補正）が減少し、カットオフ周波数が増加します。このようなアニメーションを作るつもりです...
http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733
私が今まで見たラプラス変換の最も直感的な説明：
一見すると、ラプラス変換の戦略はフーリエ変換と同じであるように見えます。波形を分解するために、時間領域信号を一連の基底関数と相関させます。違います！数学はほとんど同じですが、2つの手法の背後にある理論的根拠は大きく異なります。
ラプラス変換は、指数関数的に減衰するさまざまな正弦波でシステムのインパルス応答を調べるものと見なすことができます。キャンセルを生成するプロービング波形は、極と零点と呼ばれます。
これにより、すべての周波数応答を記述する代わりに、他のすべての点（周波数応答である -plane一部を含む）でのシステムの動作を決定する小さな特徴点のセットを使用できます。S 、S = J ω
本にはこれのいいアナロジーがあります：
ここで、車掌と比較して、列車のルートに沿った高度と距離の関係をどのように理解するかを考えてみましょう。途中で標高を直接測定したので、関係についてすべてを知っていると正しく主張できます。比較すると、指揮者はこれと同じ完全な情報を知っていますが、より単純で直感的な形式で、パスに沿って窪みと隆起を引き起こす丘と谷の位置がわかります。信号の説明は数千の個別の測定で構成される場合がありますが、信号の導体の説明にはいくつかのパラメーターしか含まれません。