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拡散による測地線距離の計算
加重グラフのAPSP（All-Pair Shortest Path）問題を解決しようとしています。このグラフは実際には1次元、2次元、または3次元のグリッドであり、各エッジの重みは2つの頂点間の距離を表します。必要なのは、頂点のすべてのペアに対する測地線グラフの距離（グラフの最短経路）です。 拡散ベースの方法が必要です。ダイクストラまたはフロイドワーシャルアルゴリズムよりも高速だからです。私は熱方程式を使用してこれを達成しようとしています： 最後に、私のアプリケーションは、フォームのカーネル必要がありますとグラフ測地線距離を。exp（−d2/γ）ddあなたdt= Δ U 。dあなたdt=Δあなた。\frac{du}{dt} = \Delta u.exp（− d2/ γ）exp（−d2/γ）\exp(-d^2/\gamma)ddd 私の希望は、そのソリューションをすることになっているので、拡散のための緑の機能： u （ t 、x 、y）=（14個のπt）− d私メートル2exp（−d2（x、y）4 トン）、あなた（t、バツ、y）=（14πt）−d私メートル2exp（−d2（バツ、y）4t）、 u(t,x,y) = \left(\frac{1}{4\pi t}\right)^{-\frac{dim}{2}}\exp\left(\frac{-d^2(x,y)}{4t}\right), 次に、そのソリューションを直接使用して（前に因子を取り除くためにいくつかの調整を加えて）、カーネルとして使用できます。パラメーターは、調整することによって調整されます。トンγγ\gammattt 私はまだうまくいくことをすることができなかった、そして私はいくつかの助けが欲しい。これまでに多くのことを試しましたが、いくつかの問題が発生しています。これらすべてを1つの質問で説明することは困難で長いので、最初に私が良いアプローチの始まりであると考えるものを説明し、次にいくつかの一般的な質問をします。 それはクレーンらによる熱アルゴリズムにおける測地線の第一段階で行われるのと同じ方法で、後退オイラーステップで、Iは、線形システム解くことができる： と拡散ステップ、はラプラシアン行列、は頂点の1つでのディラック。 tLu0（私d− t L ）u = u0（1）（1）（私d−tL）あなた=あなた0(Id - tL)u = u_0 \tag{1}tttLLLあなた0あなた0u_0 式（1）を解くと、実際にはという形式のカーネルが得られますが、これは望ましくありません。したがって、時間内にK回の反復を行い、K回解く必要があります： Id- これにより、。（I d − texp（− d/ γ）exp（−d/γ）\exp(-d/\gamma) u = …