拡散による測地線距離の計算

加重グラフのAPSP（All-Pair Shortest Path）問題を解決しようとしています。このグラフは実際には1次元、2次元、または3次元のグリッドであり、各エッジの重みは2つの頂点間の距離を表します。必要なのは、頂点のすべてのペアに対する測地線グラフの距離（グラフの最短経路）です。

拡散ベースの方法が必要です。ダイクストラまたはフロイドワーシャルアルゴリズムよりも高速だからです。私は熱方程式を使用してこれを達成しようとしています：最後に、私のアプリケーションは、フォームのカーネル必要がありますとグラフ測地線距離を。

\frac{d あなた}{d t} = Δ あなた 。

$\frac{du}{dt} = \Delta u.$

\exp (- d^{2} / γ)

$\exp(-d^2/\gamma)$

d

$d$

私の希望は、そのソリューションをすることになっているので、拡散のための緑の機能：

あなた （ t 、 バツ 、 y ） = {（ \frac{1}{4 π t} ）}^{- \frac{d 私 メートル}{2}} \exp （ \frac{- d^{2} （ バツ 、 y ）}{4 t} ） 、

$u(t,x,y) = \left(\frac{1}{4\pi t}\right)^{-\frac{dim}{2}}\exp\left(\frac{-d^2(x,y)}{4t}\right),$

次に、そのソリューションを直接使用して（前に因子を取り除くためにいくつかの調整を加えて）、カーネルとして使用できます。パラメーターは、調整することによって調整されます。 $\gamma$ $t$

私はまだうまくいくことをすることができなかった、そして私はいくつかの助けが欲しい。これまでに多くのことを試しましたが、いくつかの問題が発生しています。これらすべてを1つの質問で説明することは困難で長いので、最初に私が良いアプローチの始まりであると考えるものを説明し、次にいくつかの一般的な質問をします。

それはクレーンらによる熱アルゴリズムにおける測地線の第一段階で行われるのと同じ方法で、後退オイラーステップで、Iは、線形システム解くことができる：と拡散ステップ、はラプラシアン行列、は頂点の1つでのディラック。

\begin{matrix} （1） & （ 私 d - t L ） あなた = {あなた}_{0} \end{matrix}

$(Id - tL)u = u_0 \tag{1}$

t

$t$

L

$L$

u_{0}

$u_0$

式（1）を解くと、実際にはという形式のカーネルが得られますが、これは望ましくありません。したがって、時間内にK回の反復を行い、K回解く必要があります： Id- これにより、。 $\exp(-d/\gamma)$

（ 私 d - \frac{t}{k} L ） あなた = {あなた}_{0} ⟺ M あなた = {あなた}_{0}

$(Id - \frac{t}{k}L)u = u_0 \iff Mu = u_0$

u = M^{- 1} . . . M^{- 1} u_{0} ⟺ u = M^{- K} u_{0}

$u = M^{-1}...M^{-1}u_0 \iff u = M^{-K}u_0$

Kが増加すると、カーネルは正方形の1つのに収束すると想定されます。 $\exp(-d^2/\gamma)$

さて、ここに質問があります：

グラフラプラシアン、または有限差分ラプラシアンを使用する必要がありますか？AFAIU、グラフラプラシアンは対角線に1を持つように正規化されますが、FEラプラシアンは対角線に次数があり、が乗算され $\frac{1}{h^2}$
グラフの重みをラプラシアンに埋め込むにはどうすればよいですか。これにより、解で得られる距離がグラフの測地線距離になります。重みの範囲と、パラメータ、、およびの一方向のポイント数に関して、解のの値の範囲を予測できるようにしたい（ドメインの合計サイズ：）。 $d(x,y)$ $t$ $K$ $n$ $N = n^{dim}$
ラプラシアンではどの境界条件を使用する必要がありますか？境界に関数値（ディリクレ）を課すべきではないと思います。これは、最長距離を課すことになるからです。それとも私がすべきですか？均一なノイマン条件と均一なディルシレット条件を試しましたが、どちらの場合も放物線の境界付近で歪みが発生します（これは、解対数を計算して確認します。最小値を差し引く）。 $d(x,y)^2$ $u(t)$
代わりに拡散方程式を使用する必要がありますか？：、拡散は空間依存であるため？ $\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla\cdot\left(\kappa\nabla u\right)$

参照：

クレーン等。2013：熱の測地線：熱流に基づいて距離を計算する新しいアプローチ

linear-algebra diffusion heat-transfer

— マシュー
ソース

おそらくこれを見たことがあるでしょうが、見たことがない場合は、cs.cmu.edu /〜kmcrane / Projects / HeatMethodのWebページに、いくつかの異なる言語での「ヒートメソッド」の実装へのリンクがあります。

— amarney

L^{1}

$L^1$

\exp (- \frac{d^{2}}{g a m m a})

$\exp(-\frac{d^2}{gamma})$

L^{1}

$L^1$

n^{3}

$n^3$

(i, j, k)

$(i,j,k)$

(i_{1}, j_{1}, k_{1})

$(i_1,j_1,k_1)$

(i_{2}, j_{2}, k_{2})

$(i_2,j_2,k_2)$

L^{1}

$L^1$

| i_{1} - i_{2} | + | j_{1} - j_{2} | + | k_{1} - k_{2} |

$|i_1-i_2|+|j_1-j_2|+|k_1-k_2|$

組み合わせラプラシアン？それは、ソリューションに何を期待するかによって異なります。期待するのが妥当なことは、ソリューションはサーフェスのメッシュ方法とは独立している（または可能な限り独立している）必要があるということです。これが必要な場合は、メッシュを変更すると結果が完全に異なるため、明らかに組み合わせグラフラプラシアンは必要ありません。

$T$

T = {λ_{1} p_{1} + λ_{2} p_{2} + λ_{３} p_{３} | λ_{1} + λ_{2} + λ_{３} = 1; λ_{1} \geq 0; λ_{2} \geq 0; λ_{３} \geq 0}

$T = \{ \lambda_1 p_1 + \lambda_2 p_2 + \lambda_3 p_3\ |\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1; \lambda_1 \ge 0; \lambda_2 \ge 0; \lambda_3 \ge 0\}$

$p_1, p_2, p_3$ $C^0$

FEMによる離散化この視点（クラシックFEM）では、区分線形関数（または必要に応じて他の関数）に基づいて方程式を射影することにより、方程式のFEM離散化を構築して解くことができます。その方法については、古典的な教科書を参照してください。たとえば、[5]（著者のWebページで英語とフランス語のpdfファイルとして入手可能）を参照してください。これは、区分線形関数に投影されたラプラシアンの導出を完全に説明しています。コンピュータグラフィックスの論文では、演算子（剛性行列）の離散化と、使用する関数の基底（質量行列）の「内積」を、それらを単一の行列（「呼び出し」と呼ぶ）に組み合わせることで混合しています。離散ラプラシアン」）。何が起こっているのかを完全に理解するには、それらを別々に考える必要があります。

バラダンの定理とトポロジー：あなたが引用する「熱法」[3]について言及する必要がある何か：それはバラダンによって証明された定理[1]に基づいています。Varadhanによるオリジナルの記事は、表面のパラメーター化を使用し、（チェーンルールを使用して）パラメーター空間ですべての計算を「引き戻す」ことによって結果を証明しています。パラメータ化を使用するため、証明は非縮退のパラメータ化を持つオブジェクトに対してのみ有効です。特に、これは検討中のオブジェクトがディスクに同型であることを課します。バラダンの定理に関するこの制限については、[2]の400ページでも説明されています。「バラダンの公式は単射半径内で機能します。yがxのカット軌跡に移動するとどうなりますか...劇的な変化が発生します...奇妙なイベントが発生します対置点」。「カット軌跡」トポロジーディスクを接着して任意のトポロジのオブジェクトを形成するゾーンです（つまり、あるポイントから「ボロノイセル」を成長させると、ボロノイセルの境界が自己衝突する場所になります）。トポロジーディスク以外のものを使用する場合は、自分で行います（数学的な保証はありません）。ただし、[3]は、得られたものが妥当であることを示す傾向があるいくつかの経験的結果を報告しているため、実際のアプリケーションではそれが機能する可能性があります。ここで、定理を証明したい場合は、それらがトポロジーディスクに対してのみ機能することを知る必要があります（より一般的なケースに拡張する方法が見つからない場合）。トポロジーディスク以外のものを使用する場合は、自分で行います（数学的な保証はありません）。ただし、[3]は、得られたものが妥当であることを示す傾向があるいくつかの経験的結果を報告しているため、実際のアプリケーションではそれが機能する可能性があります。ここで、定理を証明したい場合は、それらがトポロジーディスクに対してのみ機能することを知る必要があります（より一般的なケースに拡張する方法が見つからない場合）。トポロジーディスク以外のものを使用する場合は、自分で行います（数学的な保証はありません）。ただし、[3]は、得られたものが妥当であることを示す傾向があるいくつかの経験的結果を報告しているため、実際のアプリケーションではそれが機能する可能性があります。ここで、定理を証明したい場合は、それらがトポロジーディスクに対してのみ機能することを知る必要があります（より一般的なケースに拡張する方法が見つからない場合）。

[1] Varadhan 1967、拡散は短い時間間隔で処理されます、Comm。純粋で応用数学、20、659-685

[2]リーマン幾何学の全景、Marcel Berger、Springer、2003

[3]熱の測地線、K。Crane et.al、2013

[5] https://global.oup.com/academic/product/numerical-analysis-and-optimization-9780199205219?cc=fr&lang=en&

— ブルーノレヴィ
ソース

これらの詳細なガイドラインをありがとう！「ディスクトポロジ」とは何ですか。これは、ディスクに同型であるものですか？

— matthieu 2018

はい、それは私が意味したものです（あなたが正しい、あなたがそれがより標準的であると言う方法、私は答えを更新しています）。

— BrunoLevy 2018