高次収束を達成するマルチフィジックスPDEの演算子分割アプローチはありますか？

16

進化PDEが与えられた場合

{あなたは}_{t} = A あなたは + B あなたは

$u_t = Au + Bu$

ここで、は通勤しない（おそらく非線形の）微分演算子であり、一般的な数値的アプローチは解くことを交互に繰り返すことです。 $A,B$

{あなたは}_{t} = A あなたは

$u_t = Au$

そして

{あなたは}_{t} = B あなたは 。

$u_t = Bu.$

これの最も単純な実装はGodunov分割として知られており、1次精度です。Strang splittingとして知られるもう1つのよく知られたアプローチは、2次精度です。高次演算子分割法（または代替のマルチフィジックス離散化アプローチ）は存在しますか？

pde multiphysics operator-splitting

— デビッド・ケッチャソン
ソース

1

用語は硬いですか、硬くないですか？AとBを適用する関数がありますか、または状態を

から

進めるアルゴリズムのみがありますか？一方が硬く、もう一方が硬くない場合、多くの興味深い方法があります。

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— ジェッドブラウン

7

BCHの式は、2つの非可換行列の行列指数を近似する体系的な方法であると理解していました。

— マット・ネプリー
ソース

しかし、それはPDEが本物であっても複雑な用語につながるのではないでしょうか？2次以上の離散化に使用しますか？

— デビッドケッチャソン

1

私の記憶（またはWebページ）からではありません。それは多くの整流子につながります。量子多体では、これらの式を単純化する良い方法があります。

— マットネプリー

7

あなたは一般的な事業者AとBを検討し、あなただけ（放物線問題を解決するときに通常必要とするものである）正の時間ステップを作りたい場合は、2の順障壁が存在する場合、すなわち、使用して任意の分割の種類を、あなたが取得することはできません収束率が2よりも高い。基本的な証明は、S。BlanesとF. Casasによる最近の論文、http： //www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdfで提供されています。

ただし、問題についてもう少し知っている場合は、いくつかの方法があります。

方程式を時間を遡って解くことができると仮定すると（これは、たとえばシュレディンガー方程式に一般的です）、多くの分割が利用できます。
演算子が分析セミグループを生成する場合、つまりtに複素値を挿入できる場合（放物線方程式に一般的）、最近、複素平面に入ることで高次の分割を取得できることが観察されました。その方向の最初の記事は、E。HansenとA. Ostermann、http：//www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf、およびF. Castella、P。Chartierによるものです。、S。Descombes、およびG. Vilmart。ある意味で「最適」な複雑な分割の選択は現在の研究のテーマであり、arxivのトピックに関するいくつかの論文を見つけることができます。

要約：問題についていくつかの仮定を置くと、何かを得ることができますが、そうでない場合は、順序2が最大になります。

PS .:スパム防止のためCastella et al-paperへのリンクを削除する必要がありましたが、Googleで簡単に見つけることができます。

— フィリップ・デルセク
ソース

5

LBNL のCCSEグループは、最近、複雑な化学を伴う低マッハ数フローでスペクトル遅延補正（SDC）メソッドを使用しました。彼らはSDCの結果をStrang splittingと比較し、結果は非常に有望です。

以下に詳細を記したドラフトペーパーを示します。複雑な化学による低マッハ数フローの遅延補正カップリング戦略

SDCスキームは、高次の正確なコロケーションソリューションに収束する反復スキームですが、1次のメソッドから構築されることに注意してください。

— マシュー・エメット
ソース

2

分割誤差は、少なくとも原則として、スペクトル遅延補正方法によって低減できます。しかし、これは活発な研究分野であり、実際に一般的に使用できるものではありません。

— ブライアン
ソース

2

かなりの数をリストする高次分割スキームの新しいリソースは、次の場所にあります。

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— デビッド・ケッチャソン
ソース