ブロック構造のない不確定システムの反復法

行列の不定システムは、たとえば混合有限要素による鞍点問題の離散化に現れます。次に、システムマトリックスを次の形式で入力できます。

ここで、は負（半）確定、は正（半）確定、は任意です。もちろん、規約によっては確定性条件を使用することもできますが、これはこれらの行列の構造とほぼ同じです。$A$$C$$B$

これらの方法には、実際にはシステムを共役勾配、勾配降下法などで解くことができる同等の半定値システムに変換するための単なる「トリック」である宇沢の方法を使用できます。

私はそのようなブロック構造を持たない不明確なシステムに直面しています。その場合、宇沢タイプの方法は適用されません。私はPaige＆Saundersによって導入された最小残差法（MINRES）を知っています。これは、3項の再帰であり、実装が簡単なようです。

質問： MINRESは一般的に、プロトタイピングに適していますか？それは何か実用的な意味がありますか？現在、プレコンディショニングは中心的な問題ではありません。

プリコンディショニングが気にならない場合は、MINRESが標準の選択です。ただし、MINRESは対称正定前提条件を必要とすることに注意してください。

事前調整に関心がある場合は、ほとんどの鞍点問題と一般的な不確定問題の間の構造的な違いを考慮することが重要です。ほとんどの鞍点問題は、ラグランジュ乗数によって強制される制約を伴う楕円問題を解決するときに発生します。非圧縮性と接触拘束は、一般的な例です。このような問題の場合、演算子は、制約が満たされる部分空間で強制的になり、グリーン関数は急速に減衰します。このような問題は、ブロックプレコンディショナー（前処理されたUzawaはこのファミリーのメンバーです）、互換性のあるスムージング機能を備えたマルチグリッド（例：Vankaまたはブロック分解に基づく）、または適切な局所的および粗い問題を伴うマルチレベルドメイン分解を使用して効率的に解決できます。

鞍点問題ではない不確定問題の典型的な例は、ヘルムホルツ方程式です。

ここでは正の定数によって上下に均一に制限されています。以下のために大、グリーン関数は非常にプレコンディショニングになり振動（および離散化）ことは困難です。この質問に対する回答で説明されているように、2つの合理的なアプローチは、完全に一致するレイヤーと「波線マルチグリッド」に基づいてプレコンディショナーをスイープすることです。残念ながら、これらの方法は、特定の方程式に対して実装するのがややカスタムであり、技術的な実装が必要です。$a(x)$$k$

興味深いかもしれない関連する質問は、スパース線形システムソルバーを選択するときに従うべきガイドラインは何ですか？ただし、この場合は、反復法のみに関心があります。反復法についての私の理解は、特定の方法の収束は行列のスペクトルに大きく依存するということです。Uzawaの方法は使用できませんが、GMRES、Biconjugate安定化勾配、MINRES、準最小残差法、および不定行列に適用される他の反復法を試すことができます。

さまざまなメソッドのコーディングが問題になる場合は、さまざまな反復線形ソルバーを実装するPETScなどのライブラリを使用して、アルゴリズムでソルバーを呼び出すことができます。

このタイプの問題には、MINRESが最適です。