ノイマン境界条件のフーリエ変換

2つの連立偏微分方程式系を数値的に解く必要があります。

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

システムのドメインは正方形の領域です。

境界条件：

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

このシステムをフーリエ変換で解いてみました。数回反復すると解が不安定になります。私は以前にこのシステムを有限差分法で解決しましたが、うまく機能したので、システムの定数は完全に問題ありません。

私の質問は、フーリエ変換を使用してこれらの方程式を解くことができるかどうかです。
ノイマン境界条件のためにフーリエ変換を適用できないとどこかで読んだことがあります。これは正しいです？
はいの場合、代替手段は何ですか？

pde fourier-analysis

— おしゃべり
ソース

どのように定義しますか？ある周期関数？

f_{1} (x_{1}, x_{2})

$f_1(x_1,x_2)$

f_{1}

$f_1$

— ucsky 09/10/12

f_{1} (x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}) a r c t a n (x_{2})

$f_1(x_1,x_2) = P(x_1)arctan(x_2)$ 、ここでP（x）は多項式です。

— チャトゥール

おそらく、数値の不安定性は関数ます。ドメインの制限でがゼロに等しくない場合、周期信号を再構築するときに境界条件でジャンプする可能性があります。

f_{1}

$f_1$

P

$P$

— ucsky 2012

@異常、コメントありがとうございますが、それが何を意味するのか理解できません。たぶんFFTをもっと徹底的に勉強するべきだろう。しかし、すべての変更をシステムで解決している場合、境界の値が影響を受けないように、変更は中央部分のみに（大まかに）制限されている場合、ここでFFTを使用できますか？

— チャトゥール

まあ私が言ったことは間違っているかもしれません、それはいくつかの滑らかな関数うまくいくかもしれませんが、とにかくそれは境界付近のプロセスが適切に解決されないのでおそらくそれはおそらく間違った解決策を与えます。おそらく、コサインモードまたはチェビシェフモードを使用する必要があります。本当にフーリエ変換を使いたいなら、ある種のペナルティ法を使うことができます。

f_{1}

$f_1$

— ucsky 2012

FFTは、周期的な境界条件に使用できます。フォンノイマン境界条件は事実上「ミラー」境界条件であるため、FFTを適用する前に「ミラー継続」を行う必要があります。このアプローチの1つの欠点は、データ量を4倍に増やすことです（少し実験するだけの場合は重要ではありません）。コサイン変換を使用すると、暗黙的に「ミラーリングされた継続」が行われ、ファクター4のオーバーヘッドが回避されます。

境界の近くのグリッドポイントが配置されている場所に応じて、「離散ミラー継続」を実行するには2つの異なる方法があることに注意してください。したがって、FFTWのようなライブラリは、コサイン変換のさまざまなバリアントを提供していることがわかります（これらのさまざまな「離散ミラー継続」に対応しています）。

— トーマスクリムペル
ソース