SDEの微分係数なしのソルバーの優れている点は何ですか？

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私はSDEに慣れるために、このトピックに関するレビューペーパーをいくつか読んでいます。彼らは、デリバティブのないソルバーに多大な労力が費やされたという印象を残しています。私の理解では、これはDDEのようなと導関数はメソッドに必要ありません（間違っている場合は修正してください）。

d X = f (X) d t + g (X) d W,

$\newcommand\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}} \diff X = f(X)\diff t + g(X) \diff W,$

f

$f$

g

$g$

この特性は、導関数を取得するのが難しい、または計算上実行できない、または存在しない一部のアプリケーションで有用であることを理解できます。ただし、このような問題がアプリケーションに関連することはあまりありません。

これは、次のうち少なくとも1つが当てはまることを示唆しています。

導関数なしのソルバーにはさらに欠けている関連する利点がいくつかあります。
（上記の理由により）導関数なしのソルバーが必要な問題は、私が思っているよりも関連性があります。
導関数なしのソルバーの需要は、「供給」、つまりソルバーを開発する人々によってそれらに与えられる注意よりも低くなります。

どっち？

stochastic stochastic-ode

— Wrzlprmft
ソース

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この特性は、導関数を取得するのが難しい、または計算上実行できない、または存在しない一部のアプリケーションで有用であることを理解できます。ただし、このような問題がアプリケーションに関連することはあまりありません。

$n^2$

自動微分ツールを使用すると、このコストは削減されますが、それでもかなりの額になる可能性があります。したがって、分析ヤコビアンが規定されていない場合は、通常、導関数を必要とするメソッドを避けた方がよいでしょう。

ただし、このような問題がアプリケーションに関連することはあまりありません。

生物学から派生した非線形SPDEやSDEの大規模システム（1000）のようなほとんどの場合、ヤコビアンを書き出すことはほぼ不可能であり、エラーが発生しやすくなります。それは逆です：分析的なヤコビアンが提供されることを期待することは良い考えではありません。

さらにいくつかの利点もあります。ルンゲクッタ法は導関数なしの方法であり、多くの係数最適化を実行できます。

導関数なしのソルバーの需要は、「供給」、つまりソルバーを開発する人々によってそれらに与えられる注意よりも低くなります。

そうではありません。でDifferentialEquations.jlほとんどのユーザーのために、それは使いやすさにつながるとパフォーマンスが向上します、ので、派生フリー法はKPS確率テイラーシリーズのメソッドの前に実施されました。とはいえ、微分方程式の分野では、常にそうでない反例を見つけることができるので、導関数を明示的に使用するいくつかのメソッドを実装する予定です。しかし、ほとんどのユーザーはおそらく、エンドの認知的負荷がはるかに低いので、派生物を使用しない方法にデフォルトを設定するでしょう。

— クリス・ラッカウカス
ソース

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私は特に確率微分方程式の専門家ではありませんが、私の答えはまだ価値があると思います。

$n^2$
$f$ $g$

— アントン・メンショフ
ソース

g

$g$

f

$f$

g

$g$

適切なパフォーマンスを得るために、ユーザーがスパースパターンを提供することを要求することは、ほとんどのユーザーにとってパフォーマンスが悪い場合に適した方法です。ほとんどのユーザーは、Dormand-Princeが提供する問題など、ほとんどの問題に対して「自動SDEソルバー」を必要としているだけなので、「最も基本的な方法」でその量の入力が必要になると、使いやすさが低下します。

— Chris Rackauckas

ええ、ヤコビアンはまばらかもしれません。問題は、それがどれほどスパースであるか、スパースパターンを決定することがどれほど簡単か、そしてそれを計算するために導関数なしの方法と比較していくつの関数評価が必要かということです。「数値ノイズ」について。それは、分析関数でも同様に発生しますが、それほど深刻ではありません（ただし、導関数なしのスキームを調べるのに十分なほど計算が困難です）。非分析関数ですか？確率論的DEの世界で使用されているものはどれか、答えがわかりません。積分方程式の専門家として、私は常にグリーン関数を例として使用しています。

— アントンメンショフ