固定数の物理キュービットとエンコードされた論理キュービットのすべてのスタビライザーグループのセットを簡潔に説明する方法

量子ビットの数であると、符号化された論理量子ビットの数であるを修正します。すべて相互に通勤し、さらにグループ形成する演算子のセットを見つけることができます。グループSがパウリグループのサブグループであると仮定します。これらの演算子を使用して、2 ^ {nk}ベクトル空間を修正できます。$n$$k$$(n-k)$$S$$S$$2^{n-k}$

このようにして形成されたすべてのスタビライザーグループS_iを検討し、kキュービットをnに$S_i$エンコードし、\ mathcal {S} = \ {S_i \、\ vert \、i = 1 \ ldots N \}のセットを考えます。ここで、S_iは特定の2 ^ {nk}次元のベクトル空間を安定させるスタビライザーグループ。このセットを明示的にパラメーター化するにはどうすればよいですか？例：n = 3およびk = 1の場合、他の異なるスタビライザーグループに対してS_1 = \ langle Z_1Z_2、Z_2 Z_3 \ rangleおよびS_2 = \ langle X_1X_2、X_2 X_3 \ rangleのようにすることができます。$k$$n$$\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$$S_i$$2^{n-k}$$n=3$$k=1$$S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$$S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

解決策として考えられる方法の1つは、特定のS_iのパリティチェックマトリックスを検討し、S_iのパリティチェックマトリックスに対して$S_i$どのグループアクションを定義して、同じカーディナリティの他のスタビライザーグループのパリティチェックマトリックスを生成するかを$S_i$ことです。 。しかし、そのようなグループがスタビライザーグループにどのように作用するかはわかりません。以下のための私の例では、$(n,k) = (3,1)$上の、例えば、私は変更することができ$S_1$する$S_2$アダマールによって結合することによって、私はいくつかの右乗算にこの対応を考える$2n \times 2n$の行列パリティ検査行列。

この例のため、私が必要としているのは、共役によって作用するクリフォードグループ全体またはそのサブグループによる共役であり、シンプレクティック行列作用に対応するパリティチェックマトリックス。その場合、セットは、特定のスタビライザーグループし、クリフォードグループまたはサブグループの単一表現による共役によってそれに作用することによって化されます。これは近いですか？（2 n × 2 n ）S S $S_i$$(2n \times 2n)$$\mathcal{S}$$S_i$

良いニュースと悪いニュースがあります。良い知らせは、あなたの直感は本質的に正しいこと、そしてクリフォードグループを介したそのようなグループアクションがあることです。悪いニュースは、そのパラメーター化に何を求めているかによっては、期待しているほど有用ではない可能性があることです。$\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

最初に朗報ですキュービットのすべてのPauliスタビライザーグループは、独立したジェネレーターで、クリフォードグループ演算子による共役によって他のそのようなグループにマップできます。これを示す最も簡単な方法は、帰納法です。場合、そのような安定化グループは1つだけです：トリビアルグループ。いずれかのために入力スタビライザー基所与、、あなたの場合に減らすことができ以下の手順によって。r = n − k r r = 0 { 1 } r > 0 S r − $n$$r = n-k$$r$$r = 0$$\{ \mathbf 1 \}$$r > 0$$S$$r-1$

• スタビライザーグループの任意のジェネレーターを選択し、が動作をするキュービットします。x r P $P_r$$x_r$$P_r$

• であるようなクリフォードグループ演算子を見つけます。これは、キュービットのみ作用する単一キュービットパウリ演算子です。演算子は、係数をキュービットおよびに交換するために、SWAP演算子を含む場合があります。C r P r C † r = Z n − r Z （n − r ）C r x r（n − r $C_r$$C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$$Z$$(n-r)$$C_r$$x_r$$(n-r)$

• 下で、スタビライザーグループの他のジェネレーターがどのように変換するかを決定します。これにより、グループのジェネレーターのリストが生成され ます。はアーベリアンであるため、各ジェネレーターのイメージはまたは備えたキュービット作用します。後者の場合は、乗算して新しいジェネレーターを作成します。の要素であり、は、これはグループのために発電機の等価セットをもたらします。S ′ = { C r P C † $C_r$S '（N - R ）1つの ZのZ N - Rの Z N - Rの S $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$$S'$$(n-r)$$\mathbf 1$$Z$$Z_{n-r}$$Z_{n-r}$$S'$

これで、によって安定化される部分空間のスタビライザーグループができました。このグループのすべての状態は、キュービットでのテンソル積として考慮され、残りのキュービットでいくつかの状態が考慮されます。他のすべてのキュビットで定義されたスタビライザーコードを検討することで、キュビットでジェネレーターを使用したスタビライザーグループの場合に削減しました。 | 0 ⟩ （N - R ）N - 1 R - $Z_{n-r}$$\ket{0}$$(n-r)$$n-1$$r-1$

この帰納的証明を解凍すると、ジェネレーターを含むスタビライザーコードをクリフォード回路にマップする再帰的な手順が得られ、そのスタビライザーグループが特定のグループマップされます。そのようなコードとが2つある場合は、それらの回路をして、をマップする回路を取得します。のスタビライザーグループのジェネレーターの異なるセットが異なる回路を生成するという点で、いくつかの冗長性がありますR C Z N 、R：= ⟨ Z N - R、Z N - R + 1、... 、Z N$S$$r$$\mathcal C$S 1 S 2 C † 2 C 1 S 1 S 2 S j C j n

$$\mathcal Z_{n,r} := \langle Z_{n-r}, Z_{n-r+1}, \ldots, Z_n\rangle \,.$$ $S_1$$S_2$$\mathcal C_2^\dagger \mathcal C_1$$S_1$$S_2$$S_j$$\mathcal C_j$：これは、一部のクリフォード回路 がコードの自己同型（つまり論理ユニタリ）を評価するだけであるという事実に対応しています。しかし、気にしないでください：あなたが持っているのは、単一のコードからスタビライザージェネレーターでキュビットでスタビライザーコードを生成する方法です。$n$$r$

悪いニュースは、これが現状であるように、私たちが上記で行ったことのすべてが、それらのエンコーディング回路によってスタビライザーコードをパラメーター化するために事実上あるということです。「エンコード回路」とは、キュービット状態を取り、その後、状態で新しいキュービットを準備することにより、キュービットシステムでをエンコードする回路を意味しますを作成し、適切な単一体によって行動します。ジェネレーターを使用した任意のスタビライザーコードを、スタビライザーグループがある「正規の」（そして非常に鈍い）コードに削減する$k = n-r$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$n$$r$$\ket{0}$$r$$\mathcal Z_{n,r}$、スタビライザーコードがクリフォードエンコーディング回路を備えたコードであることは、多かれ少なかれ証明されています。 -qubitクリフォードグループの下での軌道の観点からスタビライザーコードを記述することは、コード化回路の観点からコードを記述することと大体同じです。これは信頼できる良い事実ですが、深い結果というよりは基本的な結果です。$\mathcal Z_{n,r}$$n$

「参照」コードとして他のコードを使用する場合、他のいくつかのクリフォード回路によってそのエンコード回路の前にあることを除いて、基本的に同じことを行っています。この視点は役立つかもしれませんし、役に立たないかもしれません。スタビライザーコードとスタビライザーの状態についてあまり詳しくない他の人と話し合っているときは、知っておくとよい基本的なプロパティですが、何に追加の制約を課すこともありません関心のあるエンコード回路またはコード表現（たとえば  、検討するコードの自己同型を制限するため）では、このパラメーター化の有用性は限られていると思います。結局のところ、重要なのは、関係するスタビライザーコードのプロパティです。