Helstrom測定とは何ですか？

私は、Joseph Renesが古典的量子チャネルを復号化するために量子メッセージを渡すことによる、量子チャネルの信念伝播復号化の記事を読んでおり、Helstrom Measurementsの概念と交差しました。

私は量子情報理論と量子エラー訂正についてある程度の知識を持っていますが、その論文に取り組むまで、そのような測定について読んだことがありませんでした。そのような記事で、著者は測定がこの復号化手順に最適であると述べているので、私はそのような種類の測定とは何か、そしてどのようにしてそれらを行うことができるかを知りたいです。

algorithm error-correction quantum-information

— ジョスエチェザレッタマルティネス
ソース

Helstrom測定は、2つの状態を区別しようとするときにエラー確率が最小になる測定です。

たとえば、2つの純粋な状態があるとしますと、あなたはそれはあなたが持っているということであるかを知ることを望みます。もし、その後は3台のプロジェクタを用いた測定を指定することができます $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\langle\psi|\phi\rangle=0$ （二次元ヒルベルト空間の場合、）。

P_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{ϕ} = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

\bar{P} = 0

$\bar P=0$

質問は、測定は、あなたがいる場合に行うべきものです？具体的には、のは、その仮定しよう、と私は（IIRC、これが最適である）だけ射影測定に集中します。その場合、ような単一のが常に存在します $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$ $\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$ $U$ 現在、これらの状態はによって最適に区別されますと（あなたが得る、そしてあなたが持っていたと仮定）。したがって、最適な測定値である

U | ψ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ + \sin θ | 1 ⟩ U | ϕ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ - \sin θ | 1 ⟩ .

| + ⟩ ⟨ + |

$|+\rangle\langle +|$

| - ⟩ ⟨ - |

$|-\rangle\langle -|$

| + ⟩

$|+\rangle$

U | ψ ⟩

$U|\psi\rangle$

成功確率は

P_{ψ} = U^{†} | + ⟩ ⟨ + | U P_{ϕ} = U^{†} | - ⟩ ⟨ - | U \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

{(\frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1 + \sin (2 θ)}{2} .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$

より一般的には、どのように次の2つの密度行列を区別しないと？計算することによって開始及び固有値を求めると固有ベクトルに対応の。あなたは3つの測定の演算子を構築 $\rho_1$ $\rho_2$

δ ρ = ρ_{1} - ρ_{2},

$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$

{λ_{i}}

$\{\lambda_i\}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

δ ρ

$\delta\rho$

あなたは答えを得る場合は

、あなたが持っていたと仮定

。あなたが取得する場合

、あなたは持っていた

、あなたが取得する場合一方で、

あなたは単にあなたが持っていたと思います。これにより、上記の純粋な状態戦略が再現されることを確認できます。この戦略の成功確率はどれくらいですか？

P_{1} = \sum_{i : λ_{i} > 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{2} = \sum_{i : λ_{i} < 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{0} = I - P_{1} - P_{2} .

$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$

P_{1}

$P_1$

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{2}

$P_2$

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{0}

$P_0$

我々は、これを拡張することができる

\frac{1}{2} Tr ((P_{1} + P_{0} / 2) ρ_{1}) + \frac{1}{2} Tr ((P_{2} + P_{0} / 2) ρ_{2})

$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$

ので、

及び

\frac{1}{4} Tr ((P_{1} + P_{2} + P_{0}) (ρ_{1} + ρ_{2})) + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

P_{1} + P_{2} + P_{0} = I

$P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$

Tr (ρ_{1}) = Tr (ρ_{2}) = 1

$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$ 、これはわずかであり、

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2})) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr | ρ_{1} - ρ_{2} | .

$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$

— DaftWullie
ソース

λ_{i}

$\lambda_i$

δ ρ

$\delta\rho$

@JosuEtxezarretaMartinezはい。

— DaftWullie

T r ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$Tr((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

T r | ρ_{1} - ρ_{2} |

$Tr|\rho_1-\rho_2|$

P_{1}

$P_1$

δ ρ

$\delta\rho$

- P_{2}

$-P_2$

δ ρ

$\delta\rho$

(P_{1} - P_{2}) δ ρ = | δ ρ |

$(P_1-P_2)\delta\rho=|\delta\rho|$