量子エラー訂正の観点からのクリフォード操作の重要性

QECCに関する文献では、クリフォードゲートが高い地位を占めています。

これを証明する次の例を考えてみましょう。

• スタビライザーコードを研究する場合、エンコードされたクリフォードゲートを実行する方法を個別に研究します（これらが横方向に適用できない場合でも）。QECCのすべての紹介資料は、量子コードでのエンコードされたクリフォード演算の実行に重点を置いています。それ以外の場合も、クリフォードゲートを強調します（つまり、量子コードでエンコードされたクリフォードゲートを実行していない場合でも）。

• マジックステート蒸留*のトピック全体は、特定の操作（クリフォードゲートのパフォーマンスを含む）を低コストの操作として分類することに基づいており、たとえば、トッフォリゲートまたはゲートをより高い操作で実行しています。コストの運用。$\pi/8$

考えられる答え：

1. これは、文献の特定の場所で正当化されています。たとえば、Gottesmanの博士論文や彼による多くの論文、さらにはhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025でも正当化されています。これらの場所に示されている理由は、特定のスタビライザーコードで横方向にいくつかのクリフォードゲートを実行することが可能であるためです（プロトタイプのフォールトトレラント操作）。一方、量子コードで非クリフォードゲートのトランスバーサルアプリケーションを見つけるのは簡単ではありません。私はこれを自分で検証していませんが、ゴッテスマンが彼の博士号で行った声明に基づいています。論文といくつかの総説。

量子コードに対してコード化されたゲートを横方向に実行できないことは、コードに対して前記ゲートを実行するコストを即座に増加させる。したがって、クリフォードゲートの実行は低コストカテゴリに分類され、非クリフォードゲートは高コストカテゴリに分類されます。

2. エンジニアリングの観点からは、量子計算の基本単位（状態準備、ゲート、測定オブザーバブル/ベーシス）などの標準化されたリストを決定することが重要です。クリフォードゲートを実行すると、複数の理由により、そのリストで便利な選択肢になります（最もよく知られているユニバーサル量子ゲートのセットには、多くのクリフォードゲートが含まれています、Gottesman-Knillの定理**など）。

これらが、QECCの研究（特にスタビライザーコードを研究している場合）において、クリフォードグループがこのように高い地位を占めている理由として私が考えることができる2つだけの理由です。どちらの理由も、エンジニアリングの観点から生じています。

それで問題は、エンジニアリングの観点から生じない他の理由を特定できるかということです。クリフォードゲートが果たす他の大きな役割はありますか？

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*自由に修正してください。**特定の操作に制限されていると述べていると、量子的な利点を得ることができないため、最初に制限した操作のセットよりも少し多く必要です。

クリフォード演算は、多くの場合、横方向またはコード変形によって、スタビライザーコードでフォールトトレラントに簡単に実行できます。その理由はあなたが思っていたとおりです。これらのゲートとパウリの間の特別な関係です。後者はスタビライザーコードを定義するために使用されるためです。

コードで非クリフォードゲートを取得することは可能ですが、代金を支払う必要があります。具体的には、コードの幾何学的局所性とコードが横方向に実行できるゲートとの間に関係があります。したがって、2Dラティス（サーフェスやカラーコードなど）で最も近い隣接する制御ゲートのみを実行できる場合、クリフォードのみが可能になります。詳細については、このような論文を参照してください。

スタビライザーコードからフォールトトレラントなクリフォードを期待できるという事実は、ユニバーサルゲートセットを合成する技術の中心に置かれました。したがって、非フォールトトレラントな方法で非スタビライザーエンコードされた状態を作成する方法がある場合、論理的なクリフォードを使用してそれをクリーンアップする方法を知っています。これらの状態をローテーションに変えるには、論理的なクリフォードを使用します。したがって、コードがあり、これらすべての既成の結果を適用したい場合は、フォールトトレラントなクリフォードを見つけた方がよいでしょう。または、少なくともPaulis、H、およびCZまたはCNOT（すべてを管理できない場合）。