異なるサイズの2つの量子レジスタの内積を計算するにはどうすればよいですか？

2つの量子状態の距離を計算できるアルゴリズムを見つけました。これは、スワップテスト（忠実度推定器または2つの状態の内積ですが、忠実度の意味がわかりません）と呼ばれるサブルーチンに基づいています。

私の質問は内積についてです。量子ビットの数が異なる2つの量子レジスタの内積を計算するにはどうすればよいですか？

アルゴリズムの説明はこのペーパーにあります。画像に表示されている3番目のステップに基づいて、例を挙げてそれを証明したいと思います。

みましょう： 、| b | = 5、Z = 50 | A ⟩ = $|a| = 5$$|b| = 5$$Z = 50$ | B⟩=

$$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$$ 私たちが望むすべては、次の2つの状態の忠実度です| ψ⟩と| φ⟩との間の距離を計算するには| ⟩と| B⟩のように与えられます： | a−b| 2=2Z| ⟨φ| ψ⟩| 2 そう | ψ⟩= $$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$$ $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$$|a\rangle$$|b\rangle$${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$| φ⟩= $$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$$ 、その後どのように計算 ⟨φ| ψ⟩=？ $$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$$ $$\langle\phi|\psi\rangle = ??$$

$|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$$|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$$\langle\phi|\psi\rangle$

$$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$$ $$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$$ $a_0$$a_1$$|a\rangle$ $$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$$

実際には、マイナスがあるはずです。論文に間違いがあります。Wittekは彼の（高価な）本でマイナスを使用しています。

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$$ $$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$$

$$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$$ $$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$$

$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$