疎なハミルトニアンのシミュレーションの利点

この質問に対する@DaftWullieの回答で、この記事で例として使用されている行列を量子ゲートで表す方法を示しました。ただし、実際の例ではそのような適切に構造化された行列がありそうにないので、ハミルトニアンをシミュレートする他の方法を調べようとしました。私はいくつかの記事で、AharonovとTa-Shmaによるこの記事への言及を見つけました。その中で、とりわけ、スパースハミルトニアンのシミュレーションにいくつかの利点があると述べています。しかし、記事を読んだ後は、スパースハミルトニアンのシミュレーションがどのように実行されるのか理解できませんでした。問題は通常、グラフの色付けの1つとして提示されますが、プレゼンテーションも確認します @Nelimeeが行列のべき乗を研究するために読むことを提案したことは、これはすべて製品の公式を通してシミュレーションを倒すことになります。

例として、次のようなランダム行列を考えてみましょう。

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ これはエルミートではありませんが、Harrow、Hassidim、Lloydの提案を使用して、エルミート行列を作成できます。

C = [\begin{matrix} 0 & あ \\ あ^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & ３ & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & ３ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] 。

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

これで8x8、2スパースのエルミート行列ができました。

プロダクトフォーミュラメソッド以外の方法でその進化をシミュレーションできますか？
積公式を使用しても、それがまばらであるという事実をどのように利用しますかそれはゼロ以外のエントリが少ないため、基本的なゲートの積を見つけやすくなるからですか？

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
ソース

スパース行列が有用であることを示唆する洞察は、次のようになります：の、個々のコンポーネントがすべてする（対角化を簡単にする）セットで分解できます行列がスパースである場合、個別のが多すぎる必要はありません。次に、ハミルトニアン進化をシミュレートできますここで。たとえば、あなたのケースでは、 $H$ $H_i$

H = Σ_{私 = 1}^{メートル} H_{私} 。

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- 私 H t} = Π_{j = 1}^{N} e^{- 私 H_{メートル} δ t} e^{- 私 H_{メートル - 1} δ t} \dots e^{- 私 H_{1} δ t} 、

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} バツ \otimes （ 18 私 - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes 私 ） H_{2} = \frac{1}{4} （ バツ \otimes （ 11 私 + 5 Z ） \otimes バツ + Y \otimes （ 11 私 + 5 Z ） \otimes Y ） H_{３} = \frac{1}{4} （ 11 バツ \otimes バツ - Y \otimes Y ） \otimes （ 私 - Z ）

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$ （3項それが3疎なハミルトニアンであるという事実に対応します）。私はここに戦略があると信じています：あなたはハミルトニアンのすべての非ゼロ行列要素を調べ、それらをグループ化して、それらの座標をとして書くと（そして、それらの複素共役ペアを常に含めます）、追加を続けます私のセットに他の元素どちらも提供も等しいまたは。これがために意味するだろうハミルトニアン-sparse、あなたが持っています

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$ 異なる。

H_{i}

$H_i$

問題は、実際にはこれが必ずしも簡単に機能するとは限らないことです。1つには、指数関数的に実行しなければならない行列要素がまだたくさんありますが、それは、設定方法に常に当てはまります。

人々がこれを回避する方法は、彼らが神託を設定することです。考えられるオラクルの1つは、基本的には関数で、行の非ゼロエントリの位置と値を返します。これは、完全な量子アルゴリズムに組み込むことができます。このトピックに関する論文はいくつかあります（まだ完全に理解しているものはありません）。たとえば、こことここ。それらがどのように機能するかを大まかに説明してみましょう。 $f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

最初のステップは、ハミルトニアンをユニタリのセットとして分解し、正のスケールファクターを掛けたもの：簡単にするために、と仮定しましょう。あなたはこの分解を与えられていると想定されるかもしれません。次に、を実装する操作（制御されたおよび制御されたから構築）を定義します。制御キュビットに特定の状態（正規化まで）を入力する場合、適用してから、制御キュービットを測定し、その状態にあることを選択した後 $\alpha_i$

H = \underset{私}{Σ} α_{私} U_{私}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ 、その後の選択が成功した、少なくとも確率で発生するを実装し。実際にはベッセル関数に基づいていくつかのより良い級数展開が使用されますが、複数の項、および確かにハミルトニアンの指数関数（級数展開について考える）でもまったく同じことができます。

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
ソース

私が理解できなかった2つのこと：1）常に複素共役ペアを含めると言うとき、どういう意味ですか？2）神託によって提供される立場の知識は、どのように私たちを助けるべきですか？分解されたハミルトニアンを表すユニタリーのセットを決定するのを助けることによって？

— FSic 2018

@ F.Siciliano（2）オラクルからの知識が役立ちます。これにより、マトリックスのすべての要素を調べてゼロ以外の要素を見つける必要がなく、マトリックスのゼロ以外の要素のみを操作できます。

— DaftWullie 2018

@ F.Siciliano（1）はエルミートなので、要素（i、j）の値がことがわかっている場合要素値はことがわかります。これらの項もエルミートでばならないため、分割するときに同じハミルトニアン項に含める必要があることも知っています。

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$

— DaftWullie 2018