量子状態は単位ベクトルです…どのノルムに関して？

私が見つけた量子状態の最も一般的な定義は次のとおりです（ウィキペディアの定義を言い換えます）

量子状態は、複素数上の有限次元または無限次元のヒルベルト空間の光線で表されます。

さらに、有用な表現を得るには、量子状態を表すベクトルが単位ベクトルであることを確認する必要があることを知っています。

しかし、上記の定義では、考慮されるヒルベルト空間に関連付けられたノルム（またはスカラー積）を正確に示していません。一見の私ではノルムは本当に重要ではありませんでしたが、私は、規範をされたことを昨日実現することをけれどもどこでもユークリッド規範（2ノルム）になるように選択。ブラケット表記でさえ、ユークリッドのノルムのために特別に作られているようです。

私の質問：ユークリッド標準がどこでも使われているのはなぜですか？他の基準を使用しないのはなぜですか？ユークリッドノルムには、他の人にはない量子力学で使用できる有用な特性がありますか？

生まれのルールのように述べていますこれは、状態の量子システムを見つける確率です | X ⟩測定後。すべての xの合計（または積分！）が1になる必要があります。$|\psi(x)|^2 = P(x)$$|x\rangle$$x$

$$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$$

これらは均質ではないため、どちらも有効な基準ではありません。単純に平方根を行うことにより、それらを同種にすることができます：

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$$

そして、あなたはこれをユークリッドのノルムおよびユークリッドのノルムの非離散領域への一般化として認識するかもしれません。別の基準を使用することもできます。

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$$

いくつかの正定行列/関数Aについて

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しかし、持つノルムのp > 2があるため、たとえば有用なものとしてではないでしょう。$p$$p>2$

$$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$$

1である必要はありません。

このように、ユークリッドのノルムは特別です。なぜなら、2はボルンの法則の力であり、量子力学の仮定の1つだからです。

一部の用語はここでは少し混乱しているようです。量子状態は（有限次元ヒルベルト空間内で）長さ1の複素ベクトルで表されます。長さはユークリッドノルムで測定されます。ユニタリはベクトルではなく行列の分類であるため、ユニタリではありません。

量子状態は、何らかのマトリックスに従って変更/進化します。量子状態の長さが1であることを考えると、純粋な状態から純粋な状態へのマップがユニタリ行列で記述されることが必要かつ十分であることがわかります。これらは、（ユークリッド）ノルムを保持する唯一の行列です。

それは確かに「量子状態に異なる（）ノルムを使用できますか？」という有効な質問です。その後、正規化された状態を正規化された状態にマップする操作を分類すると、それらは非常に制限されます。p ≠の場合$p$、唯一の有効な操作は（各要素に異なる位相で）置換行列です。物理学はもっと退屈です。$p\neq 2$

これを感じる良い方法は、軸の2Dセットを描画してみることです。異なるノルムの下で長さ1の点のセットに対応する形状を描画します。p = 2は円を、p = 1は菱形を、p → ∞は正方形を与えます。シェイプをそれ自体にマッピングするためにどのような操作を実行できますか？円の場合は、任意の回転です。それ以外の場合は、π / 2の倍数だけの回転です。以下はウィキペディアからのものです。$p$$p=2$$p=1$$p\rightarrow\infty$$\pi/2$

さらに詳細が必要な場合は、こちらをご覧ください。

より数学的には、L pノルムを持つはp = 2の場合のみヒルベルト空間であるためです。$\mathbb{R}^n$$L^p$$p=2$

$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$$\vec v\to L\vec v$

基本的に3つのオプションしかないことがわかります。

1. $(0,1,0,0,0)$$L$

2. $1$$v_i$

3. $2$$v_i$

これらが唯一の可能性です。他の標準では、興味深い変換は存在しません。

あなたがこののより詳細で素敵な説明をしたい場合は、スコット・アーロンソンの「デモクリトス以来、量子コンピューティング」は、この講義だけでなく、紙を。

$p=2$$L^p$

$M_{ij}$$\sum x_i^* M_{ij} y_j$$M$$M_{ii} \mid x_i \mid^2$$\mid x_i \mid^2$$M_{ii}>0$$\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$$L^2$$n$$M_{ii}$

$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$$w(x)$$x \to x+a$$w(x)$$w(x)$$w(x) \neq 1$

場合によっては、標準形式に移行しないほうが便利です。計算方法をシャッフルします。たとえば、いくつかの数値を実行している場合、この種の再配置によってエラーを減らして、マシンが困難と判断する実際の小さな数値または大きな数値を回避できます。

トリッキーなことは、変数を変更したときと変更しなかったときを追跡することです。標準の内積に統一して変数を変更することと、それを1ステップで実行しようとすることとを混同したくありません。あなたは要因をドロップする可能性があります$\sqrt{M_{ii}}$

The Euclidean norm on an $n$-dimensional space, as defined here, is not the only norm used for quantum states.

A quantum state doesn't have to be defined on an n-dimensional Hilbert space, for example the quantum states for a 1D harmonic oscillator are functions $\psi_i(x)$ whose ortho-normality is defined by:

$$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$$

If $i=j$ we get:

$$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$$

because the total probability must be 1.
If $i\ne j$, we get 0, meaning that the functions are orthogonal.

The Euclidean norm, as defined in the link I gave, is more for quantum states on discrete variables where $n$ is some countable number. In the above case, $n$ （これは可能な値の数です $x$ can be) is uncountable, so the norm doesn't fit into the definition given for a Euclidean norm on an $n$-dimensional pace.

We could also apply a square root operator to the above norm, and still we'd have the required property that $\int P(x)dx=1$, and the Euclidean norm can then be thought of as a special case of this norm though, for the case where $x$ can only be chosen from some countable number of values. The reason why we use the above norm in quantum mechanics is because it guarantees that the probability function $P(x)$ integrates to 1, which is a mathematical law based on the definition of probability. If you had some other norm which can guarantee that all laws of probability theory are satisfied, you would be able to use that norm too.