局所的なクリフォード等価は、非素数次元のクジットグラフ状態を直接グラフで表現しますか？

この質問は、前のQCSE質問の補足です：「quditグラフの状態は非素数次元に対して明確に定義されていますか？」。質問の答えから、d次元のクディットを使用してグラフの状態を定義することには何の問題もないように見えますが、グラフの状態の他の定義的な側面は非素数次元に同様に拡張されていないようです。$d$

：具体的には、量子ビットのグラフの状態のために、彼らの有病率と使用への1つの重要な側面があるという事実である任意の二つのグラフの状態があればローカルクリフォード同等であり、他に1つのグラフを取る地元complementationsのいくつかの列がある場合のみ、簡単なためには、（無向グラフ）。言うまでもなく、これは量子エラー訂正、エンタングルメント、ネットワークアーキテクチャの分析に非常に役立つツールです。

考慮した場合 -quditグラフ状態、同等のグラフは、現在隣接行列で重み付けされたA ∈ Z N × N D、I jは、エッジの重みである（I 、J ）（とI J = 0ないエッジを示していないが存在します）。quditの場合、それは示された LC等価は、同様にローカル相補性（の一般化によって拡張することができる* V）とエッジ乗算演算の包含（∘ Bの$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$）、ここで： ここで、B=1、...、D-1とすべての算術モジュロ実行されるPを。

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

グラフィック的には、これは次の操作で表されます（参考文献2から複製）。

ただし、グラフの状態が素数ではない次元のクジットで定義されている場合、これらの演算がLC等価を表すことに失敗している（と思われる）ことがわかります。

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$ローカル操作のみを使用して、他のすべてのクディットから分解されます。明らかにこれは誤りであり、前の質問の回答で述べたように約数がゼロという問題が原因で発生します。

私の質問は、非素数次元のquditグラフ状態のローカルクリフォード等価を適切に表す一連のグラフ操作はありますか？

注：私は主に、セクションで提案されているように、複数の素数次元グラフ状態への可能な分解ではなく、単一の重み付きグラフとしての状態の表現に直接適用される操作に関心があります。「絶対最大絡みクディットグラフの状態」の4.3 。

このコンテキストでモジュロ演算を使用することは正しくありません。代わりに、有限体演算を適用する必要があります。でここでとの結合として定義される。$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

加算、乗算、および共役の表は次のようになります。

この写真では、私たちは持っている、、、及びなるようにと見かけの矛盾が発生しないようにします。$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$