quditグラフの状態は非素数次元に対して明確に定義されていますか？

Quditグラフの状態は、キュービットグラフの状態の$d$次元の一般化であり、各状態は、各エッジ重みが割り当てられるように、重み付きグラフ$G$（自己ループなし）で表されます。関連付けられたグラフの状態は、によって与えられます A i 、j = 0 、… 、d − 1 $(i, j)$$A_{i, j} = 0,\ldots,d-1$$G$ どこ | + ⟩ = F †

$$|G⟩ = \prod_{i>j} \textrm{CZ}_{i,j}^{A_{i,j}} |+⟩^{\otimes n},$$ と Fはフーリエゲートである F = $|+⟩ = F^\dagger|0⟩$$F$ $$F = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1} \omega^{kl}|k⟩⟨l|.$$

quditグラフの状態に関する文献では、そのような状態が素数に対してのみ定義されているかどうかに関して一貫性がないようです。たとえば、一部のソースでは、dプライムに対して上記の定義のみを提供しています。$d$$d$

• quditグラフの状態と量子秘密の共有
• 絶対最大絡みクディットグラフの状態

一方、一部はそのような制限を指定していません。

• Quditグラフの状態からのGreenberger-Horne-Zeilingerのパラドックス
• quditグラフの状態を使用した量子エラー修正コード

どちらが正しいですか？ ディメンションが素数である場合、quditグラフの状態は（十分に）定義されていますか？

また、そうであれば、それらは一意に定義されていますか？

グラフの状態、特に量子フーリエ変換と制御されたZ演算子に与える定義-ここで$F$$Z$$Z$をパウリ演算子のユニタリ一般化とし、Xシフトに対してZ = F X F †を満たします。-by-one順列操作—複合ディメンションでもすべて明確に定義されています。フーリエ変換は確かに、任意の定義にとって重要な操作です。制御されたZ演算は依然として対角線で単一であり、Fへの関連接続がまだあります$Z$$Z = F XF^\dagger$$X$$Z$$F$テンソルとして; 複合次元で厄介になる数学的オブジェクト自体については何もありません。

素数次元に非常に重点を置いているのは、基本的に複合次元クディットは分析に不便だからです。これの理由は、数論から生じます。特に、複合次元では、約数がゼロであることを心配する必要があるという事実です。率直に言って、自分自身を数論者だと考える分野は多くなく、非常に少数の研究者（著者または記事の読者のいずれか）は、よく使われている例などの分野ではない数体系に多くの忍耐力を持っています、R、Q、そしてもちろん整数が素数モジュロpは、Z$\mathbb C$$\mathbb R$$\mathbb Q$$p$$\mathbb Z_p$。このため、フィールド内のどこにも複合ディメンションのクディットへの参照はほとんどありません。あなたがそうするときでさえ、通常、数学的便宜の主要な懸念は他のいくつかの制限を動機づけます。

量子情報理論は、時々、数論、および純粋な数学を一般的に利用しますが、間違いはありません。この分野は、純粋な数学の優先順位とあまり重複していません。定義が奇妙に制限されているように見える方法で提示されている場合、それは、その制限なしで証明するために、はるかに困難な、または少しだけ厄介な結果を示すことができるためです。合理的に完全な数学的理論を提示するよりも、印象的な結果の例を公表することが重要であると考えられています。