すべての

[1]の定理2は次のように述べています。

が加法的自己直交サブコードであり、ベクトルを含み、に重みベクトルがないと仮定します。その場合、固有空間は、パラメータもつ付加的な量子エラー訂正コードになります。GF（4 ）N 2 N - K < D C ⊥ / C φ - 1（C ）[ [ N 、K 、D ] $C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

ここで、ここでのバイナリ表現との間のマップであるN倍パウリ演算子及びそれらに関連する符号語、及びCがある自己直交であればC ⊆ C ⊥ここでC ⊥のデュアルC。$\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

これは、各加法自己直交古典的コードが[ [ n 、k 、d ] ]量子コードを表すことを示しています。$\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

私の質問は、その逆も当てはまるかどうかです。つまり、すべての量子コードは、追加の自己直交GF（4 ）n古典コードによって表されますか？$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

または同等：任意あります添加自己直交で表されていない量子コードGF（4 ）N古典的なコードは？$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]：Calderbank、A。Robertなど。「GF（4）上のコードによる量子誤り訂正。」IEEE Transactions on Information Theory 44.4（1998）：1369-1387。

有効なコード空間を作成するためにスタビライザージェネレーターがそれらの間を交換しなければならないため、スタビライザー量子コードを作成するために古典的なコードに追加の自己直交制約が必要です。古典的なコードから量子コードを作成する場合、安定化器の交換関係は、自己直交の古典的なコードを持つことと同等です。

しかしながら、量子コードは、エンタングルメント支援によって、$GF(4)^n$上の非自己直交古典コードから構築できます。この構成では、任意の古典的なコードが選択され、キュービットシステムにいくつかのベルペアを追加することで、スタビライザー間の整流が得られます。

古典的なコードからQECCを構築するためのこのエンタングルメントアシストパラダイムは、arXiv：1610.04013で紹介されています。

あなたの質問は部分的には表記上の問題と見なすことができます。

表記$[[n,k,d]]_D$は、多くの場合（常にではありません）、コード用に予約されており、スタビライザータイプです。Calderbank et alの論文が示すように、キュービットスタビライザーコードは、加法的自己直交GF（4）^ n古典的コードと同等です。この構造は一般化されます。参考文献を参照してください。Ketkar et al。アシフミンとニル。ここで、コードの次元はquDitsの$D^k$です。

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$