量子位相推定の実際の能力は何ですか？

位相推定の概念に関して少し複雑な点があります。定義により、ユニタリ演算子と、固有値を持つ固有ベクトルが与えられた場合、位相推定により、値。これは私が特定の行列の固有値を決定することができるであろうことを意味する与えられた私はすでにその固有ベクトルのいずれかを知っていますか？しかし、事前に固有ベクトルが必要になると、位相推定自体の有用性がかなり低下するのではないでしょうか。| U ⟩ EXP （2 π I φ ）$U$ $|u\rangle$$\text{exp}(2\pi i \phi)$$\phi$

入力としてを指定しない場合、次の2つのことが考えられます。$|u\rangle$

1. ランダムに選択された（ただし不明）固有状態の ;| U $\varphi$$|u\rangle$

2. 1つ以上の固有状態の場合、と両方。| U $\varphi$$|u\rangle$

最初に1を見てみましょう。固有状態は完全な基礎を形成するため、使用する入力状態はすべての固有状態の重ね合わせとして解釈できます。量子力学の線形性により、アルゴリズムはこれらすべての状態に対して一度に実行されます。その後、最後に、出力を測定すると、ランダムに特定のインスタンスに折りたたまれます。つまり、ランダムに選択された固有状態のが与えられますが、それがどれであるかはわかりません。したがって、既存の位相推定アルゴリズムは、最初の可能なアプリケーションを提供できます。$U$$\varphi$

2番目のアプリケーションは、標準の位相推定では実行できないものですが、仮説的に考えてみましょう。これを実行できるすべてのアルゴリズムは、出力の一部として固有状態を提供します。したがって、実際にが何であるかを知りたい場合は、出力で断層撮影を行う必要があります。トモグラフィーは非効率的であるため、これを実行するより良い方法がおそらくあるでしょう。| U $|u\rangle$$|u\rangle$

時々、あなたは固有ベクトルを知っているかもしれません、そしてあなたが答えたい計算の質問は固有値が何であるかです。たとえば、アクションによって定義された関数評価 for、は固有ベクトル が明確に定義されています が、固有値がは絶対に重要です。これは基本的に、ドイツのアルゴリズム、ドイツジョザ、サイモンのアルゴリズム、バーンスタインヴァジラーニなどで尋ねられる質問です。これは、量子検索のオラクルがしばしば構築される方法でもあります。U U ：| X ⟩ | Y ⟩ ↦ | X ⟩ | Y ⊕ F （X ）⟩ のx ∈ { 0 、1 } nは、Y ∈ { 0 、1 } | X ⟩ （| 0 ⟩ ± | 1 ⟩ ）/ $f(x)$$U$

少し一般化された設定（たとえば、Shorのアルゴリズムに適用されます）では、特定の固有値を見つける必要はないかもしれませんが、一部のサブセットからランダムに選択することで行えます。したがって、固有値をランダムに選択するすべての固有ベクトルをサポートする標準状態（）がある可能性がありますが、個々の固有ベクトルが何であるかはわかりませんが、その入力で位相推定を実行でき、あなたは大丈夫です。$|00\ldots 01\rangle$