ジョーンズ多項式

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DeutschのアルゴリズムSimonの問題、Groverの検索、Shorのアルゴリズムなど、非常に類似したフレームワーク内ですべて理解できるかなり標準的な量子アルゴリズムが多数あります。

完全に異なると思われるアルゴリズムの1つは、Jones Polynomialを評価するアルゴリズムです。さらに、これはBQP完全問題であるという意味で理解するための重要なアルゴリズムであるように思われます。これは、量子コンピューターの能力を最大限に発揮します。また、問題の変形としては、DQC-1 completeです。つまり、1つのきれいなキュービットのフルパワーを示します。

ジョーンズ多項式アルゴリズム紙は、他の量子アルゴリズムと非常に異なる方法でアルゴリズムを示します。アルゴリズム（具体的には、DQC-1バリアントのユニタリ、またはBQP-completeバリアントの回路全体）を理解できる、より類似した/馴染みのある方法はありますか？ $U$

algorithm circuit-construction bqp

— ダフトウォリー
ソース

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この答えは、リンク先のAharonov-Jones-Landauの論文の多かれ少なかれ要約ですが、アルゴリズムの定義に直接関係のないものはすべて削除されています。これが役立つことを願っています。

Aharonov-Jones-Landauアルゴリズムは、特定のユニタリ行列行列要素（の一部の再スケーリング）として認識することにより、ユニティの番目のルートでブレードプラット閉包のジョーンズ多項式を近似します。編組グループ特定のユニタリ表現の下の。を量子回路として実装すると、その行列要素の近似はアダマール検定を使用して簡単になります。自明でない部分は、を量子回路として近似しています。 $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

が交差を持つストランドのブレードの場合、書くことができます。、ここで、、は、番目のストランドを stで交差させることに対応するジェネレータです。これは、説明するために十分でため、。 $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

定義する、我々は最初の標準基準の特定のサブセットを与えるれた nontrivially作用します。ため、ましょう。すべての場合、 admissibleを呼び出しましょう。（これは、AJLペーパーで定義されたグラフ上の長さパスを記述する対応します。） $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$ Let（これはAJLの論文で誤植されています。ここでのみここで、はインデックスないことに注意してください）。書き込み、ここで最初であるのビット、およびlet。それから

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$ 許容できない基底要素に対してを定義します。

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

ここで、を多項式で（および）多数のゲートを持つ量子回路として説明します。は2つのキュービットのみを変更しますが、への依存性を通じて最初のキュービットにも依存することに注意してください（実際、許容性の要件はすべてのキュービットに依存します）。ただし、カウンターを実行してを計算および保存し（入力の許容性も決定）、対数的に（単位）の補助量子ビットで保存できるため、Solovay-Kitaevアルゴリズムを適用して $U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ 多項式的に多くのゲートのみを使用します。（この論文はSolovay-Kitaevに2回アピールします：各ステップでカウンターをインクリメントするために1回、を適用するために1回;これらのいずれかを量子回路として記述するより直接的な方法があるかどうかはません標準ゲート。この論文では、ここで許容性をチェックする必要性についても言及していません。これが重要かどうかはわかりませんが、少なくともです。 $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

要約すると：

編組と開始と交差。 $\sigma \in B_{2n}$ $m$
書き込み。 $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
各に対して、Solovay-Kitaevアルゴリズムを適用してユニタリ行列（または場合はその逆行列）の近似値を取得します）。 $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
手順3のすべての近似を構成して、を近似する多項式的に多数のゲートを備えた量子回路を取得します。 $U_{\sigma}$
ステップ4の回路と状態、実数および虚数のアダマールテストを多項式で何度も適用します。 $\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
ステップ5の結果を平均し、スケーリング係数を掛けて、評価されるプラットクロージャのジョーンズ多項式の実数部と虚数部の近似値を取得します。 $\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— エヴァン・ジェンキンス
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2

あなたは質問で5つの論文に言及しましたが、言及されていない1つの論文は2009年の実験的実施です。ここで、ジョーンズ多項式を評価するために使用された実際の回路を見つけることができます。

Jones多項式とDQC-1への関心が2009年以降少し低下しているため、これはアルゴリズムの「より馴染みのある」表示に最も近い可能性があります。

この実験の詳細は、ジーナ・パッサンテの論文に記載されています。

— user1271772
ソース

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私はその論文を知りませんでした、ありがとう、私はBQP完全版に特に興味がありました。同様に、私の短いスキムでは、ユニタリ実際に何であるかについてあまり説明しません。

U_{n}

$U_n$

— DaftWullie

どういたしまして。はい、これは4ページのPRLで、詳細は私が望むほど完全には説明されていません。たぶん、Uをより良く説明する「補足資料」がジャーナルのWebページにあります。ジョーンズ多項式とDQC-1は2008年から2009年ごろに人気がありましたが、それ以来私はそれについて聞いていません。

— user1271772