「コードスペース」、「コードワード」、「スタビライザーコード」の違いは何ですか？

私は次の3つのフェーズを読み続けます（例：Nielsen and Chuang、2010; pg。456 and 465）。「コードスペース」、「コードワード」、「スタビライザーコード」-しかし、それらの定義、さらに重要なことに、それらが互いにどのように異なるかを見つけるのは困難です。

したがって、私の質問は次のとおりです。これら3つの用語はどのように定義され、どのように関連していますか？

コードスペースとコードワード

量子エラー訂正コードは、多くの場合、コード空間で識別されます（Nielsen＆Chuangは確かにそうするようです）。コード空間 などのn個の -qubit量子誤り訂正符号は、ベクトルの部分空間であるC ⊆ H ⊗ N 2。$\mathcal C$$n$$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

コードワード（エラー訂正の古典理論から借りた用語が）状態でありますいくつかのコードスペースのために：であり、それはいくつかのデータを符号化状態です。$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

量子エラー訂正コード

実際には、次のような量子エラー訂正コードを保持するために、いくつかの重要なプロパティが必要です。

• $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
• セットが存在することを演算子を含む少なくとも2つの演算子のた場合-ように、上に直交プロジェクタで -我々が いくつかのスカラー（Knill–Laflamme条件として知られています）。E 1 = 1 P C P E J E 、K P = α J 、k個のP αのJ 、$\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$$E_1 = \mathbb 1$$P$$\mathcal C$ $$P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$$ $\alpha_{j,k}$

これは、Knill-Laflamme条件が一連の演算子およびいくつかの演算子保持する場合、原則として状態保護できるエラー演算子のセットを決定しますはあなたの状態に作用し、原則としてが発生したという事実を検出して（他の演算子とは対照的に）、元の状態に保存されたデータを中断することなくエラーを元に戻すことができます。E E ∈ E E E | ψ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\mathcal E$$E \in \mathcal E$$E$$\mathcal E$$\lvert \psi \rangle$

量子誤り訂正符号は、コード空間である、と共に誤差演算子のセット Knill-Laflamme条件を満たす- 、であることを保護するために意図されたエラーを指定する必要があり訂正符号量子誤り。$\mathcal C$$\mathcal E$

コード空間で量子誤り訂正コードを識別するのが一般的である理由

コード空間のみから、Knill–Laflamme条件を満たす演算子の一意のセットを決定することはできません。ただし、どの低重み演算子（少数のキュービットにのみ作用する演算子）をコードで同時に修正できるかを検討するのが最も一般的であり、ある程度はコード空間のみから導出できます。コードスペースのコード距離は、1つの「コードワード」を個別のコードワードに変換するために作用する必要があるキュービットの最小数です。。次に、コードスペースをC $\mathcal E$$\mathcal C$$\mathcal C$ | ψ ' ⟩ ∈ C$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$C ⊆ H ⊗ N 2 2 $[\![n,k,d]\!]$コードの場合、これは次元がであり、考慮される集合は最大重みを持つすべてのパウリ演算子のセット 。$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$$2^k$ ⌊ （D - 1 ）/ 2 $\mathcal E$$\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

場合によっては、コードをコードとして記述するだけで十分です。たとえば、5キュービットコードはコードであり、5キュービットが他のエラーを修正できるように1キュービットをエンコードできないことを示すことができます。すべての単一キュービットエラーに加えて。ただし、Steaneコードについても同様ではありませんこのコードは、単一キュービットパウリエラーおよび一部の（すべてではない）2キュービットパウリエラーから保護できます。これは2量子ビットパウリのエラー、あなたがすべき$[\![n,k,d]\!]$$[\![5,1,3]\!]$$[\![7,1,3]\!]$保護は、エラーモデルが何であるかによって異なります。また、ノイズが対称的で独立して分散している場合、選択する内容はあまり重要ではありません（したがって、通常は単一のエラーと単一のエラーを選択することになります）。ただし、これは選択肢であり、ノイズからデータを保護する方法の指針となります。$X$$Z$

安定剤コード

スタビライザーコードは、スタビライザージェネレーターののセットによって決定される量子エラー訂正コードです。これは、するパウリ演算子であり、+ 1固有空間の交点によってコード空間を定義します。（積によって形成される安定を考慮することはしばしば有用です。）$\mathscr S$$\mathcal C$ P ∈ $\mathcal G$$P \in \mathscr S$

人々が実際に考慮するほとんどすべての量子誤り訂正コードは安定化コードです。これが、2つの用語の区別に問題がある理由の1つです。ただし、量子エラー訂正コードが安定化コードである必要はありません。原則として、従来のエラー訂正コードが線形コードである必要はありません。線形エラー修正コードが古典的なエラー修正コードを記述する非常に成功した方法であるのと同様に、スタビライザーコードは量子エラー修正コードを記述する非常に成功した方法であるに過ぎません。そして実際、安定化コードは、古典的な線形コードの理論を量子エラー訂正に自然に一般化したものと見なすことができます。

多くの場合、コード距離の半分未満である軽量演算子にのみ関心があるため、多くの場合、スタビライザーのセットは、スタビライザー補正コードについてすべての人が言います。しかし、エラーのセットを指定するコードを保護することができ、それに対しては、それが関係を指定することも必要であるパウリ積演算子の間におよびサブセット、よう$\mathcal E$$\sigma$$E$$S \subseteq \mathscr S$

• P ∈ $E$、に対して場合にのみ、と反ます。$P \in \mathscr S$$P \in S$$\sigma(E,S)$
• もし両立及び、次いで、。 σ （E 、S ）σ （E ′、S $E, E'$$\sigma(E,S)$$\sigma(E',S)$$E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

これは、コードが保護できるエラーのセットをします。サブセットはエラーシンドロームと呼ばれ、ここでと呼ばれる関係（明示的な名前が与えられている場合は通常表示されません）は、シンドロームをそのシンドロームを「引き起こす」1つ以上のエラーに関連付けます、コードへの影響は同等です。

「シンドローム」は、「コヒーレント測定」によってエラーについて実際に取得できる情報を表します。つまり、演算子をオブザーバブル（固有値推定によってシミュレートされるプロセス）として測定することによって取得できます。エラーは、任意のコードワードについて、状態がすべての固有空間にある場合、シンドローム「引き起こします」演算子、および他のすべての演算子の固有空間。（このプロパティは、すべての要素を持つ反転流に直接関連しています E S ⊆ S | ψ ⟩ ∈ C E | ψ ⟩ - 1 P ∈ S + 1 S E S ⊆ $P \in \mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$E \lvert \psi \rangle$$-1$$P \in S$$+1$$\mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$、およびそれらの要素のみ。）

コードワード（量子コードの場合）は、通常、論理的基礎の状態に関連付けられている量子状態です。したがって、いくつかの状態があります量子ビットの0状態に対応するには、符号化されることを（あなたが量子ビットを使用する必要はありませんが、あなたはおそらくある）、そして、あなたはだと別のものを持っています| ψ 1 ⟩キュビットの1つの状態に対応するが、符号化すること。$|\psi_0\rangle$$|\psi_1\rangle$

コードスペースとは、コードワードがまたがるスペース、つまりスペース可能なすべてのためのαおよびβ（正規化）。$\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$$\alpha$$\beta$

スタビライザーコードは、コードワード、したがってコードスペースを計算する方法を示すための1つの可能な形式です。[[n、k、d]]コードの場合、相互に通勤し、n個のキュービットに作用するnkスタビライザー演算子（S 2 = I）が与えられます。すべての州| ψ ⟩コード空間を満たすでS | ψ ⟩ = | ψ ⟩。あなたはさらに、オペレータがありますZ MとXのMのためのM = 1 、... kの安定を持つすべての通勤その$S$$S^2=\mathbb{I}$$|\psi\rangle$$S|\psi\rangle=|\psi\rangle$$Z_m$$X_m$$m=1,\ldots k$$S$ペアワイズ反通勤、、一致する添字用。これらはコードの論理パウリ演算子を定義するため、コードワードはZ m | Zを満たす状態です。ψ ⟩ = ± | ψ ⟩。$\{Z_m,X_m\}=0$$Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$

量子誤り訂正コードでは、多くの物理キュービットnの状態で、多くの論理キュービットを格納します。$k$$n$

コードワードは、特定の論理状態に関連付けられた物理キュービットの状態です。したがって、たとえば、あなたの論理量子ビットのいずれかの状態は、コードワードです。$|0\rangle$

コード空間は、可能なすべてのコードワードがまたがるヒルベルト空間です。スタビライザーコードの場合、この用語はスタビライザースペースと同義です。このコード空間内の状態はすべてコードワードです

スタビライザーコードは、スタビライザー形式で記述された量子エラー訂正コードです。スタビライザー空間は、n - kの相互固有空間として定義され、パウリ演算子の相互通勤および独立テンソル積です。$+1$$n-k$