パウリグループがスタビライザーに使用されるのはなぜですか？

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エラー修正に関しては、スタビライザーをパウリグループのメンバーにします。パウリ群がなぜこれに使用され、すべてのユニタリ行列の群ではないのですか？

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任意のユニタリ行列の代わりにパウリ行列を使用することには、単に歴史的なものを超えて、かなり単純な理由がいくつかあります。これらの理由は、Pauliオペレーターのグループを一意に特定するものではないかもしれませんが、考慮すべき生産性の範囲を大幅に制限します。

スタビライザー演算子は、何よりもまず、+ 1の固有値を持つ必要があります。それ以外の場合、という意味で「安定化」する状態はありません。したがって、固有値が+1の演算子のセットに制限する必要があります。 $S$ $\lvert \psi \rangle$ $S \lvert \psi \rangle = \lvert \psi \rangle$
第2に、スタビライザーオペレーターの運用方法を検討する必要があります。保持すべきシステムの対称性があることはわかっているが、その対称性が実際に保持されているかどうか（つまり、何らかのエラーが発生したかどうか）を判断する方法がない場合、幸運。次に、位相推定を実行して、所与の状態を安定化していると思われる演算子に関する特定の状態の固有値が実際に+1であるかどうかをテストできるようにします。がそれを保持するプロパティから逸脱しているかどうかを判断します。 $\lvert \psi \rangle$ $S$ $\lvert \psi \rangle$

これは、はい、単一であるが、固有値が大幅に異なる演算子を検討する動機となります。これにより、位相推定で重要なエラーのある状態と重要でないエラーのある状態を簡単に区別できます。これは、最大で固有値を持つキュービット演算子のセットを検討する動機になります。 $S$ $n$ $1/\mathrm{poly}(n)$
全体の問題の一部は、複雑な量子変換に関与する可能性のある演算を検出して修正したいということです。安定化演算子固有値推定に含まれる位相推定自体が複雑な場合、その状況は役に立ちません。 $S$

私たちが非常に単純な構造を持っていると考える安定化演算子それぞれにとって良いことは、たとえば、それらが1または2キュービット演算のテンソル積である場合に特に関心があるかもしれません。各演算子を単一キュービット操作のテンソル積であると見なすことにより、主題にアプローチすることは賢明なようです。 $S$ $S$
+1を含む、最大で固有値を持つキュビットに対するテンソル積演算を考慮するために、どの単一キュービット演算子がどのキュービットに作用するかについて厄介な制約を課すことなく—固有値が+1を含む有限集合（またはとは無関係）の範囲内にある単一キュービットユニタリー演算子を検討するのは、多かれ少なかれ力です。 $k \leqslant n$ $1/\mathrm{poly}(k)$ $E \subseteq \mathbb C$ $k$ $n$

テンソル積演算子の固有値の推定を観察することで、これをケース減らすことができ。ここで、各は1つの+1があります。固有値と+1でない1つの固有値は、固有値を持つ演算子に対して固有値推定の人工的に短縮されたバージョンを実行することと同じです。さらに、有用な共通+1固有空間を持つことができるいくつかの演算子を検討するために、各演算子Sが+1固有空間をできるだけ大きくすることが役立ちます。次に、各固有値を可能な限り簡単にするのに役立ちます $E = \{+1,-1\}$ $S = S_1 \otimes S_2 \otimes \cdots \otimes S_k$ $S_j$ $P_j$ $\pm 1$ $S$ $S_j$ +1に乗算します。これもまた、の固有値がある場合を動機付けます。 $S_j$ $\pm 1$
そのようなセットによって生成されるオペレーターのグループを考慮することを強制するものは何もありませんが、スタビライザーオペレーターの製品はスタビライザーオペレーターでもあり、スタビライザーオペレーターによって生成されるグループを少なくとも合理的に検討できる十分な制約があります。

演算子およびあり、そのテンソル係数はすべてまたは単一キュービット状態の自明でない反射です。それらの積は、と固有基底間の角度によって決定される角度による回転になり。きれいな理論を取得したい場合、これらの安定化演算子の積を簡単に測定できるようにする必要があります。これにより、が固有値演算子に比例するようになります（実際にはは固有値を持っている $S = S_1 \otimes \cdots \otimes S_n$ $S' = S'_1 \otimes \cdots \otimes S'_n$ $\mathbb 1$ $S_j S'_j$ $\theta$ $S_j$ $S'_j$ $S_j S'_j$ $\pm 1$ $S_j S'_j$ $\pm i$ ）。この場合、および防止です。 $S_j$ $S'_j$

したがって、上記の理論的制約と実用的制約の組み合わせは、パウリ群と同型の何かを生成するのに十分です。さらに、パウリ演算子はかなり簡単に理解できる理論を持っているので、量子エラー訂正の実りある理論につながりました。

公正な質問は、上記の動きのどれが他のものより恣意的であったかでしょう。

制約がテンソル積演算子であり、テンソル係数が固有値であるエラー修正の生産的な理論があったとしても、考えられる演算子が必ずしも逆算ではなかったとしても、それは驚くべきことではありません（上記のステップ5）。 $\pm 1$
より洗練された（そしてより困難な）ものは、テンソル積演算子ではない演算子を含む安定化演算子が含まれる強力で有用なエラー訂正理論です（ステップ3 —これは、グループ構造を持つことにあまり気を使わない動機になります。測定するスタビライザーのグループ）。

純粋に数学的な観点からは、そのような一連の調査を防止または阻止する明白なことは何もありません。もちろん、難しいことであり、また不必要である可能性が高いという事実は別として、この意味で、それは完全にパウリのグループをはるかに超えて拡張された量子エラー訂正の理論を検討するのは結構です。

— ニール・ド・ボードラ
ソース

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パウリグループの演算子には、同じサイズの2つの固有空間があります。したがって、このグループからスタビライザージェネレーターを追加することで、スタビライザースペースのサイズを半分に減らすことがわかりました。これは、スタビライザースペースが1つ少ない論理キュービットに収まることを意味します。これにより、十分なスタビライザーがあることを簡単に知ることができます論理キュビットを物理キュビットに格納するには、独立したスタビライザージェネレーターが必要です。 $k$ $n$ $n-k$

また、PauliグループはHermitianオペレーターで構成されています。スタビライザーのポイントが測定されるため、オブザーバブルとして直接解釈できるため、エルミートであることは有用です。

さらに、安定化状態間でマッピングする演算子（安定化演算子の相互固有状態）自体が、Pauliグループの要素になります。これは、コメントで指摘された点に関連しています。Pauliグループ要素は、マルチキュービット操作を記述するための完全な基礎を形成します。したがって、スタビライザーを測定し、ノイズがスタビライザーの状態間のマッピングに効果的に削減されると、ノイズが単純なパウリの束に適用されたかのようになります。その後、単純なパウリフレームの回転によって修正を行うことができます。これは、ゲートをコードに直接適用する必要さえありません。「がこのキュービットに当たったように見えるので、これからはをとして解釈し、その逆も同様です」と言えます。 $\sigma_x$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

パウリスは必須ではありませんが、素晴らしい特性を持っています。だからこそ彼らは焦点を当てています

— ジェームズウットン
ソース