ユニバーサルゲートを介したゲートの近似は、計算の長さにどのように比例しますか？

私は、任意のゲートが有限の普遍的なゲートセットで近似できるという建設的な証拠があることを理解しています。これは、Solovay–Kitaev Theoremです。
ただし、近似によりエラーが発生し、長い計算で広がり、蓄積されます。これはおそらく、計算の長さに応じてひどくスケーリングするでしょうか？1つのゲートではなく、回路全体に近似アルゴリズムを適用する可能性があります。しかし、これは計算の長さに応じてどのようにスケーリングしますか（つまり、近似はゲートの次元にどのようにスケーリングしますか）？ゲート近似はゲート合成とどのように関係しますか？これは計算の最終的な長さに影響を与えると想像できたからですか？
さらに不安なのは、ゲートシーケンスのコンパイル時に計算の長さがわからない場合はどうなりますか？

— M.スターン
ソース

$A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O （ {ログ}^{c} \frac{1}{ϵ} ）

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

最初の部分：

近似によりエラーが発生し、長い計算で広がり、蓄積する

まあ、帰納法により、ある行列を使用して別の行列を近似することで累積する誤差は準加法であることがわかります（たとえば、Andrew Childの講義ノートを参照）。つまり、ユニタリ行列および場合、。 $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

どのような実装の面でこれが意味することは、せいぜい全体の誤差のためである達成するためには、各ゲートが内に近似する必要があります、または $\epsilon$ $\epsilon/t$

回路全体に近似を適用する

は、個々のゲートに近似を適用するのと同じです。各ゲートには、回路全体の誤差を、近似するゲートの数で割った値以下の誤差があります。

ゲートの合成の観点から、アルゴリズムはゲートセットの製品を取ることによって行われる新しいゲート・セットを形成するために形成のネットをのために（任意の）。アイデンティティから始めて、ターゲットユニタリの周りのよりタイトなネットを取得するために、新しいゲートセットから新しいユニタリが再帰的に検出されます。奇妙なことに、古典的なアルゴリズムがこの操作を実行する時間もであり、これは準多項式時間です。ただし、 $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ ハロー、レヒト、チュアン、次元、周りの半径ボールはボリューム、これは指数関数的にスケーリングします次元の非固定数のため。 $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

これは、最終的な計算時間に影響します。ただし、ゲート数と従来の計算の複雑さの両方のスケーリングは部分多項式であるため、少なくとも一般的に考えられるクラスについては、これはどのアルゴリズムの複雑さのクラスも変更しません。

以下のためゲート、全体的な（時間およびゲート）複雑さは、その後され $t$ 。

O （ t p o l y ログ \frac{t}{ϵ} ）

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

中間測定なしでユニタリ回路モデルを使用する場合、実装するゲートの数は常に計算前にわかっています。ただし、中間測定を使用する場合はそうではないと想定することは可能です。したがって、近似するゲートの数が不明な場合、は不明であると言えます。がわからない場合、各ゲートをエラー近似できないことは明らかです。ゲート数の限界（たとえば）がわかっている場合、各ゲートを内に近似して全体的なエラーを取得できます。 $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ 及び複雑であるがない上部番号にバインドされた場合知られているゲートで、各ゲートが、いくつかの（より小さい）に近似されるであろう全体的なエラーを与え、（開始時には不明である）実施ゲート得数のと、全体的な複雑さ

O （ t p o l y ログ \frac{t_{最大}}{ϵ} ） 、

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O （ t^{'} p o l y ログ \frac{1}{ϵ^{'}} ） 。

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

もちろん、これの合計誤差はまだ制限されていないので、誤差を制限する¹つの簡単な方法は、毎回、たとえば係数で誤差を減らすことで、ゲートはエラー実装されています。複雑さは全体的な（現在の多項式）複雑度これには境界エラーを保証するという利点があります。 $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O （ p o l y ログ \frac{2^{n}}{ϵ^{'}} ） = O （ p o l y n ログ \frac{1}{ϵ^{'}} ） 、

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O （ p o l y t ログ \frac{1}{ϵ} ） 、

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

これはそれほど悪くないので、（ゲートの数が不明な場合）古典的なコンピューターが少なくとも量子プロセッサーが必要とする速度で正しいゲートを見つけ出し続けることができることを望みます。現在ではない場合は、量子プロセッサが十分に良くなり、これが実際に問題になることを願っています！

^{1ただし、おそらく最も効率的ではない}

— ミスランディル24601
ソース