この問題に取り組むために、整数計画フレームワークを使用して、3セットの決定変数を定義します。
- x_ij：水の場所（i、j）に橋を建設するかどうかを示すバイナリインジケーター変数。
- y_ijbcn：水の場所（i、j）が島bと島cを結ぶn番目の場所であるかどうかを示すバイナリインジケーター。
- l_bc：島bとcが直接リンクされているかどうかを示すバイナリインジケーター変数（別名、bからcまでの橋の広場でのみ歩くことができます）。
橋梁建設費c_ijの場合、最小化する目標値はsum_ij c_ij * x_ijです。モデルに次の制約を追加する必要があります。
- y_ijbcn変数が有効であることを確認する必要があります。そこに橋を架けた場合にのみ、常にウォータースクエアに到達できるため
y_ijbcn <= x_ij、すべてのウォーターロケーション（i、j）についてです。さらに、y_ijbc1（i、j）が島bに隣接していない場合は、0に等しくなければなりません。最後に、n> 1のy_ijbcn場合、ステップn-1で隣接する水の場所が使用された場合にのみ使用できます。N(i, j)（i、j）に隣接する水の正方形であると定義すると、これはと同等y_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1)です。
- bとcがリンクされている場合にのみ、l_bc変数が設定されるようにする必要があります。
I(c)島cに隣接する場所として定義する場合、これはで実行できますl_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn。
- すべての島が直接的または間接的にリンクされていることを確認する必要があります。これは、次の方法で実行できます。島の空でない適切なサブセットSごとに、Sの少なくとも1つの島がSの補数の少なくとも1つの島にリンクされている必要があります。これをS 'と呼びます。制約では、サイズ<= K / 2（Kは島の数）の空でないセットSごとに制約を追加することでこれを実装できます
sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1。
K個の島、W個の水二乗、および指定された最大パス長Nの問題インスタンスの場合、これはO(K^2WN)変数とO(K^2WN + 2^K)制約のある混合整数計画モデルです。問題のサイズが大きくなると、明らかにこれは手に負えなくなりますが、気になるサイズでは解決できる場合があります。スケーラビリティを理解するために、パルプパッケージを使用してPythonで実装します。まず、質問の下部に3つの島がある小さい7 x9のマップから始めましょう。
import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
(1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
(1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
(2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
(2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
(3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
(3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
(4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
(4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
(5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
(5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
(6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
(6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6
# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
iborders[k] = {}
for i, j in islands[k]:
for dx in [-1, 0, 1]:
for dy in [-1, 0, 1]:
if (i+dx, j+dy) in water:
iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True
# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
for b, c in pairs:
for n in range(N):
yvals.append((i, j, b, c, n))
y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)
# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])
# Valid y
for k in yvals:
i, j, b, c, n = k
mod += y[k] <= x[(i, j)]
if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
mod += y[k] == 0
elif n > 0:
mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])
# Valid l
for b, c in pairs:
mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])
# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
for S in itertools.combinations(ikeys, size):
thisSubset = {m: True for m in S}
Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1
# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
if (row, col) in water:
if x[(row, col)].value() > 0.999:
print "B",
else:
print "-",
else:
print "I",
print ""
これは、パルプパッケージのデフォルトソルバー（CBCソルバー）を使用して実行するのに1.4秒かかり、正しいソリューションを出力します。
I I - - - - - I I
- - B - - - B - -
- - - B - B - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - I I I - - -
次に、質問の上部にある完全な問題について考えます。これは、7つの島を持つ13 x14のグリッドです。
water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
(11, 2), (12, 0)],
2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
(12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
for i, j in islands[k]:
del water[(i, j)]
for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
(11, 7), (12, 7)]:
water[(i, j)] = 20.0
N = 7
MIPソルバーは、多くの場合、比較的迅速に優れたソリューションを取得し、ソリューションの最適性を証明するために膨大な時間を費やします。上記と同じソルバーコードを使用すると、プログラムは30分以内に完了しません。ただし、ソルバーにタイムアウトを指定して、おおよその解を得ることができます。
mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))
これにより、客観的な値が17のソリューションが得られます。
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - B - - - B - - -
- - - B - B - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - - - - B - -
- - - - - B - I - - - - B -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
取得するソリューションの品質を向上させるために、市販のMIPソルバーを使用できます（これは、学術機関にいる場合は無料で、それ以外の場合は無料ではない可能性があります）。たとえば、これもGurobi 6.0.4のパフォーマンスで、制限時間は2分です（ただし、ソリューションログから、ソルバーが7秒以内に現在の最良のソリューションを見つけたことがわかりました）。
mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))
これにより、OPが手動で見つけることができたよりも1つ優れた、客観的な値16のソリューションが実際に見つかります。
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - - - - - B - - -
- - - B - - - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - B B - - - -
- - - - - B - I - - B - - -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
