πの値を取得する最も速い方法は何ですか？

個人的な課題として、πの値を取得する最速の方法を探しています。より具体的には、などの#define定数を使用しM_PIたり、数値をハードコーディングしたりする必要のない方法を使用しています。

以下のプログラムは、私が知るさまざまな方法をテストします。インラインアセンブリバージョンは理論的には最速のオプションですが、移植性はありません。他のバージョンと比較するためのベースラインとして含めました。私のテストでは、組み込みで、4 * atan(1)バージョンをGCC 4.2で最も高速にatan(1)しています。これは、を定数に自動フォールディングするためです。で-fno-builtin指定され、atan2(0, -1)バージョンが最速です。

主なテストプログラムはpitimes.c次のとおりです（）：

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

#define ITERS 10000000
#define TESTWITH(x) {                                                       \
    diff = 0.0;                                                             \
    time1 = clock();                                                        \
    for (i = 0; i < ITERS; ++i)                                             \
        diff += (x) - M_PI;                                                 \
    time2 = clock();                                                        \
    printf("%s\t=> %e, time => %f\n", #x, diff, diffclock(time2, time1));   \
}

static inline double
diffclock(clock_t time1, clock_t time0)
{
    return (double) (time1 - time0) / CLOCKS_PER_SEC;
}

int
main()
{
    int i;
    clock_t time1, time2;
    double diff;

    /* Warmup. The atan2 case catches GCC's atan folding (which would
     * optimise the ``4 * atan(1) - M_PI'' to a no-op), if -fno-builtin
     * is not used. */
    TESTWITH(4 * atan(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))

#if defined(__GNUC__) && (defined(__i386__) || defined(__amd64__))
    extern double fldpi();
    TESTWITH(fldpi())
#endif

    /* Actual tests start here. */
    TESTWITH(atan2(0, -1))
    TESTWITH(acos(-1))
    TESTWITH(2 * asin(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))
    TESTWITH(4 * atan(1))

    return 0;
}

そして、インラインアセンブリスタッフ（fldpi.c）は、x86およびx64システムでのみ機能します。

double
fldpi()
{
    double pi;
    asm("fldpi" : "=t" (pi));
    return pi;
}

そして、私がテストしているすべての構成をビルドするビルドスクリプト（build.sh）：

#!/bin/sh
gcc -O3 -Wall -c           -m32 -o fldpi-32.o fldpi.c
gcc -O3 -Wall -c           -m64 -o fldpi-64.o fldpi.c

gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m32 -o pitimes1-32 pitimes.c fldpi-32.o
gcc -O3 -Wall              -m32 -o pitimes2-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m32 -o pitimes3-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m64 -o pitimes1-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall              -m64 -o pitimes2-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m64 -o pitimes3-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm

さまざまなコンパイラフラグ間でのテスト（最適化が異なるため、32ビットと64ビットも比較しました）の他に、テストの順序を入れ替えてみました。しかし、それでも、atan2(0, -1)バージョンは毎回トップになっています。

モンテカルロ法ではない任意の合理的な措置ではなく、最速ではなく、ロングショットで、はっきりと、述べたように、いくつかの大きな概念を適用するが、それはあります。また、それはすべて、求めている精度の種類によって異なります。私が知っている最速のπは、数字がハードコードされたものです。PiとPi [PDF]を見ると、数式がたくさんあります。

これは、すばやく収束する方法です（反復あたり約14桁）。現在最速のアプリケーションであるPiFastは、この式をFFTで使用します。コードは単純なので、式を書くだけにします。この式はほとんどラマヌジャンによって発見され、チュドノフスキーによって発見されました。それは実際に彼が数十億桁の数字を計算した方法です—したがって、それは無視する方法ではありません。数式はすぐにオーバーフローし、階乗を除算しているので、そのような計算を遅らせて項を削除することが有利です。

どこ、

以下は、ブレントサラミンアルゴリズムです。ウィキペディアは、aとbが「十分に近い」場合、（a + b）²/ 4tはπの近似値になると述べています。「十分に近い」とはどういう意味かはわかりませんが、私のテストでは、1回の反復で2桁、2回で7、3回で15となっています。真の計算がより正確である可能性があります。

let pi_2 iters =
    let rec loop_ a b t p i =
        if i = 0 then a,b,t,p
        else
            let a_n = (a +. b) /. 2.0 
            and b_n = sqrt (a*.b)
            and p_n = 2.0 *. p in
            let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in
            loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1)
    in 
    let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in
    (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t)

最後に、piゴルフ（800桁）についてはどうですか？160文字！

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

自分の領域を見てπに近似するので、私はこのプログラムが本当に好きです。

IOCCC 1988：westley.c

#define _ -F<00||--F-OO--;
int F=00,OO=00;main(){F_OO();printf("%1.3f\n",4.*-F/OO/OO);}F_OO()
{
            _-_-_-_
       _-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
        _-_-_-_-_-_-_-_
            _-_-_-_
}

ここに私が高校で学んだパイを計算するためのテクニックの一般的な説明があります。

私がこれを共有するのは、誰でもそれをいつまでも覚えられるほど簡単であると考えているためです。また、「モンテカルロ」法の概念を教えてくれます。ランダムなプロセスを通じて推論可能。

四角形を描き、四角形（半円の4分の1）をその四角形の内側に刻みます（半径が正方形の辺と等しいため、四角形のできるだけ多くを塗りつぶします）

次に、ダーツを正方形に投げて、着地した場所を記録します。つまり、正方形内の任意の場所をランダムに選択します。もちろん正方形の中に着陸しましたが、半円の内側ですか？この事実を記録します。

このプロセスを何度も繰り返します。半円の内側にある点の数と、投げられた総数の比があることがわかります。この比をxと呼びます。

正方形の面積はr倍rであるため、半円の面積はx倍r倍r（つまり、x倍r乗）であると推定できます。したがって、xを4倍すると、piが得られます。

これは、すぐに使用できる方法ではありません。しかし、これはモンテカルロ法の良い例です。そして周りを見渡せば、そうでなければあなたの計算能力以外の多くの問題がそのような方法で解決できることに気付くかもしれません。

完全を期すために、C ++テンプレートバージョンは、最適化されたビルドの場合、コンパイル時にPIの概算を計算し、単一の値にインライン化します。

#include <iostream>

template<int I>
struct sign
{
    enum {value = (I % 2) == 0 ? 1 : -1};
};

template<int I, int J>
struct pi_calc
{
    inline static double value ()
    {
        return (pi_calc<I-1, J>::value () + pi_calc<I-1, J+1>::value ()) / 2.0;
    }
};

template<int J>
struct pi_calc<0, J>
{
    inline static double value ()
    {
        return (sign<J>::value * 4.0) / (2.0 * J + 1.0) + pi_calc<0, J-1>::value ();
    }
};


template<>
struct pi_calc<0, 0>
{
    inline static double value ()
    {
        return 4.0;
    }
};

template<int I>
struct pi
{
    inline static double value ()
    {
        return pi_calc<I, I>::value ();
    }
};

int main ()
{
    std::cout.precision (12);

    const double pi_value = pi<10>::value ();

    std::cout << "pi ~ " << pi_value << std::endl;

    return 0;
}

I> 10の場合、最適化されていない実行の場合と同様に、最適化されたビルドは遅くなる可能性があることに注意してください。12回の反復で、value（）が約8万回呼び出されると思います（メモ化がない場合）。

JonathanとPeter Borwein（Amazonで入手可能）による\ pi： 'Pi and the AGM'の高速計算方法に特化した本が（実際に）あります。

私はAGMと関連するアルゴリズムをかなり研究しました。それは非常に興味深いものです（ただし、重要なこともあります）。

\ piを計算する最新のアルゴリズムを実装するには、多精度算術ライブラリーが必要になることに注意してください（GMPはかなり良い選択ですが、最後に使用してからしばらく経ちます）。

最良のアルゴリズムの時間の複雑さはO（M（n）log（n））にあります。ここで、M（n）は2つのnビット整数の乗算の時間の複雑さです（M（n）= O（n log（n）log（log（n）））FFTベースのアルゴリズムを使用します。これは通常\ piの桁を計算するときに必要であり、そのようなアルゴリズムはGMPに実装されています）。

アルゴリズムの背後にある数学は簡単ではないかもしれませんが、アルゴリズム自体は通常、数行の疑似コードであり、その実装は通常非常に簡単です（独自の多精度演算を記述しないことを選択した場合:-)）。

以下の答えは、可能な限り最速の方法でこれを行う方法を正確に答えます。答えが気に入らなくても、PIの価値を得るには、それが確かに最速の方法であることを認めなければなりません。

最速パイの値を取得する方法は次のとおりです。

1）お気に入りのプログラミング言語を選択します2）その数学ライブラリをロードします3）Piがすでにそこに定義されていることを確認します-すぐに使用できます！

手元に数学ライブラリがない場合。

2番手の方法（より普遍的なソリューション）は、次のとおりです。

インターネットでPiを検索します。例：

http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000（100万桁..浮動小数点の精度は？）

またはここ：

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/

またはここ：

http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

使用したい精度の計算に必要な数字を見つけるのは本当に速く、定数を定義することで、貴重なCPU時間を無駄にしないようにすることができます。

これは部分的にユーモラスな答えであるだけでなく、実際には、誰かが実際のアプリケーションでPiの値を計算するとしたら、CPU時間のかなり大きな無駄になるでしょうね。少なくとも、これを再計算するための実際のアプリケーションは見当たりません。

親愛なるモデレーター：OPが「PIの値を取得する最速の方法」を尋ねたことに注意してください

BBPの式は、ベース2（又は16）に- -あなたは、n番目の桁を計算することができさえ最初前のn-1桁の気にすることなく:)

piを定数として定義する代わりに、常にを使用しますacos(-1)。

これは「クラシック」な方法であり、実装は非常に簡単です。Pythonでのこの実装（最速の言語ではない）はそれを行います：

from math import pi
from time import time


precision = 10**6 # higher value -> higher precision
                  # lower  value -> higher speed

t = time()

calc = 0
for k in xrange(0, precision):
    calc += ((-1)**k) / (2*k+1.)
calc *= 4. # this is just a little optimization

t = time()-t

print "Calculated: %.40f" % calc
print "Constant pi: %.40f" % pi
print "Difference: %.40f" % abs(calc-pi)
print "Time elapsed: %s" % repr(t)

詳細については、こちらをご覧ください。

とにかく、Pythonでpiの正確な値を正確に取得する最も速い方法は次のとおりです。

from gmpy import pi
print pi(3000) # the rule is the same as 
               # the precision on the previous code

以下はgmpy piメソッドのソースの一部です。この場合、コードはコメントほど有用ではないと思います。

static char doc_pi[]="\
pi(n): returns pi with n bits of precision in an mpf object\n\
";

/* This function was originally from netlib, package bmp, by
 * Richard P. Brent. Paulo Cesar Pereira de Andrade converted
 * it to C and used it in his LISP interpreter.
 *
 * Original comments:
 * 
 *   sets mp pi = 3.14159... to the available precision.
 *   uses the gauss-legendre algorithm.
 *   this method requires time o(ln(t)m(t)), so it is slower
 *   than mppi if m(t) = o(t**2), but would be faster for
 *   large t if a faster multiplication algorithm were used
 *   (see comments in mpmul).
 *   for a description of the method, see - multiple-precision
 *   zero-finding and the complexity of elementary function
 *   evaluation (by r. p. brent), in analytic computational
 *   complexity (edited by j. f. traub), academic press, 1976, 151-176.
 *   rounding options not implemented, no guard digits used.
*/
static PyObject *
Pygmpy_pi(PyObject *self, PyObject *args)
{
    PympfObject *pi;
    int precision;
    mpf_t r_i2, r_i3, r_i4;
    mpf_t ix;

    ONE_ARG("pi", "i", &precision);
    if(!(pi = Pympf_new(precision))) {
        return NULL;
    }

    mpf_set_si(pi->f, 1);

    mpf_init(ix);
    mpf_set_ui(ix, 1);

    mpf_init2(r_i2, precision);

    mpf_init2(r_i3, precision);
    mpf_set_d(r_i3, 0.25);

    mpf_init2(r_i4, precision);
    mpf_set_d(r_i4, 0.5);
    mpf_sqrt(r_i4, r_i4);

    for (;;) {
        mpf_set(r_i2, pi->f);
        mpf_add(pi->f, pi->f, r_i4);
        mpf_div_ui(pi->f, pi->f, 2);
        mpf_mul(r_i4, r_i2, r_i4);
        mpf_sub(r_i2, pi->f, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, ix);
        mpf_sub(r_i3, r_i3, r_i2);
        mpf_sqrt(r_i4, r_i4);
        mpf_mul_ui(ix, ix, 2);
        /* Check for convergence */
        if (!(mpf_cmp_si(r_i2, 0) && 
              mpf_get_prec(r_i2) >= (unsigned)precision)) {
            mpf_mul(pi->f, pi->f, r_i4);
            mpf_div(pi->f, pi->f, r_i3);
            break;
        }
    }

    mpf_clear(ix);
    mpf_clear(r_i2);
    mpf_clear(r_i3);
    mpf_clear(r_i4);

    return (PyObject*)pi;
}

編集：私はカットアンドペーストとインデントでいくつかの問題がありました、あなたはここでソースを見つけることができます。

最速でコードを入力するのが最も速いという場合、golfscriptソリューションを次に示します。

;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\;

近似値を使用する場合は、355 / 11310進数の6桁に適しており、整数式で使用できるという追加の利点があります。「浮動小数点演算コプロセッサ」が意味を持たなくなったため、これは最近それほど重要ではありませんが、かつては非常に重要でした。

Machinのような式を使用する

176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) 

[; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943}\right) ;], for you TeX the World people.

たとえば、Schemeで実装されます。

(+ (- (+ (* 176 (atan (/ 1 57))) (* 28 (atan (/ 1 239)))) (* 48 (atan (/ 1 682)))) (* 96 (atan (/ 1 12943))))

ダブル付き：

4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0))

これは、小数点以下14桁まで正確で、2倍を埋めるのに十分です（不正確さは、おそらく、アークタンジェントの残りの小数点が切り捨てられるためです）。

またセス、それは64ではなく3.14159265358979323846 3です。

Piはちょうど3です。[教授 フリンク（シンプソンズ）]

冗談ですが、これはC＃のものです（.NET-Frameworkが必要です）。

using System;
using System.Text;

class Program {
    static void Main(string[] args) {
        int Digits = 100;

        BigNumber x = new BigNumber(Digits);
        BigNumber y = new BigNumber(Digits);
        x.ArcTan(16, 5);
        y.ArcTan(4, 239);
        x.Subtract(y);
        string pi = x.ToString();
        Console.WriteLine(pi);
    }
}

public class BigNumber {
    private UInt32[] number;
    private int size;
    private int maxDigits;

    public BigNumber(int maxDigits) {
        this.maxDigits = maxDigits;
        this.size = (int)Math.Ceiling((float)maxDigits * 0.104) + 2;
        number = new UInt32[size];
    }
    public BigNumber(int maxDigits, UInt32 intPart)
        : this(maxDigits) {
        number[0] = intPart;
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            number[i] = 0;
        }
    }
    private void VerifySameSize(BigNumber value) {
        if (Object.ReferenceEquals(this, value))
            throw new Exception("BigNumbers cannot operate on themselves");
        if (value.size != this.size)
            throw new Exception("BigNumbers must have the same size");
    }

    public void Add(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] +
                            value.number[index] + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                carry = 1;
            else
                carry = 0;
            index--;
        }
    }
    public void Subtract(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 borrow = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = 0x100000000U + (UInt64)number[index] -
                            value.number[index] - borrow;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                borrow = 0;
            else
                borrow = 1;
            index--;
        }
    }
    public void Multiply(UInt32 value) {
        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] * value + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            carry = (UInt32)(result >> 32);
            index--;
        }
    }
    public void Divide(UInt32 value) {
        int index = 0;
        while (index < size && number[index] == 0)
            index++;

        UInt32 carry = 0;
        while (index < size) {
            UInt64 result = number[index] + ((UInt64)carry << 32);
            number[index] = (UInt32)(result / (UInt64)value);
            carry = (UInt32)(result % (UInt64)value);
            index++;
        }
    }
    public void Assign(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            number[i] = value.number[i];
        }
    }

    public override string ToString() {
        BigNumber temp = new BigNumber(maxDigits);
        temp.Assign(this);

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.Append(temp.number[0]);
        sb.Append(System.Globalization.CultureInfo.CurrentCulture.NumberFormat.CurrencyDecimalSeparator);

        int digitCount = 0;
        while (digitCount < maxDigits) {
            temp.number[0] = 0;
            temp.Multiply(100000);
            sb.AppendFormat("{0:D5}", temp.number[0]);
            digitCount += 5;
        }

        return sb.ToString();
    }
    public bool IsZero() {
        foreach (UInt32 item in number) {
            if (item != 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

    public void ArcTan(UInt32 multiplicand, UInt32 reciprocal) {
        BigNumber X = new BigNumber(maxDigits, multiplicand);
        X.Divide(reciprocal);
        reciprocal *= reciprocal;

        this.Assign(X);

        BigNumber term = new BigNumber(maxDigits);
        UInt32 divisor = 1;
        bool subtractTerm = true;
        while (true) {
            X.Divide(reciprocal);
            term.Assign(X);
            divisor += 2;
            term.Divide(divisor);
            if (term.IsZero())
                break;

            if (subtractTerm)
                this.Subtract(term);
            else
                this.Add(term);
            subtractTerm = !subtractTerm;
        }
    }
}

Dを使用してコンパイル時にPIを計算します。

（DSource.orgからコピー）

/** Calculate pi at compile time
 *
 * Compile with dmd -c pi.d
 */
module calcpi;

import meta.math;
import meta.conv;

/** real evaluateSeries!(real x, real metafunction!(real y, int n) term)
 *
 * Evaluate a power series at compile time.
 *
 * Given a metafunction of the form
 *  real term!(real y, int n),
 * which gives the nth term of a convergent series at the point y
 * (where the first term is n==1), and a real number x,
 * this metafunction calculates the infinite sum at the point x
 * by adding terms until the sum doesn't change any more.
 */
template evaluateSeries(real x, alias term, int n=1, real sumsofar=0.0)
{
  static if (n>1 && sumsofar == sumsofar + term!(x, n+1)) {
     const real evaluateSeries = sumsofar;
  } else {
     const real evaluateSeries = evaluateSeries!(x, term, n+1, sumsofar + term!(x, n));
  }
}

/*** Calculate atan(x) at compile time.
 *
 * Uses the Maclaurin formula
 *  atan(z) = z - z^3/3 + Z^5/5 - Z^7/7 + ...
 */
template atan(real z)
{
    const real atan = evaluateSeries!(z, atanTerm);
}

template atanTerm(real x, int n)
{
    const real atanTerm =  (n & 1 ? 1 : -1) * pow!(x, 2*n-1)/(2*n-1);
}

/// Machin's formula for pi
/// pi/4 = 4 atan(1/5) - atan(1/239).
pragma(msg, "PI = " ~ fcvt!(4.0 * (4*atan!(1/5.0) - atan!(1/239.0))) );

このバージョン（Delphi内）は特別なものではありませんが、Nick Hodgeが彼のブログに投稿したバージョンよりも高速です:)。私のマシンでは、10億回の反復を実行するのに約16秒かかり、3.14159265 25879の値が得られます（正確な部分は太字で示されています）。

program calcpi;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

var
  start, finish: TDateTime;

function CalculatePi(iterations: integer): double;
var
  numerator, denominator, i: integer;
  sum: double;
begin
  {
  PI may be approximated with this formula:
  4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .......)
  //}
  numerator := 1;
  denominator := 1;
  sum := 0;
  for i := 1 to iterations do begin
    sum := sum + (numerator/denominator);
    denominator := denominator + 2;
    numerator := -numerator;
  end;
  Result := 4 * sum;
end;

begin
  try
    start := Now;
    WriteLn(FloatToStr(CalculatePi(StrToInt(ParamStr(1)))));
    finish := Now;
    WriteLn('Seconds:' + FormatDateTime('hh:mm:ss.zz',finish-start));
  except
    on E:Exception do
      Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
  end;
end.

昔は、ワードサイズが小さく、浮動小数点演算が遅いか存在しないため、以前は次のような処理を行っていました。

/* Return approximation of n * PI; n is integer */
#define pi_times(n) (((n) * 22) / 7)

多くの精度を必要としないアプリケーション（たとえば、ビデオゲーム）の場合、これは非常に高速で十分に正確です。

（何らかの理由で）πの値の近似値を計算する場合は、バイナリ抽出アルゴリズムを試す必要があります。BellardによるBBP の改善により、PIはO（N ^ 2）で得られます。

計算を行うためにπの値の近似値を取得する場合は、次のようにします。

PI = 3.141592654

確かに、これは概算であり、完全に正確ではありません。0.00000000004102より少しだけずれています。（10兆分の⁴、約⁴ / _{10,000,000,000}）。

数学をしたいならπでし、鉛筆と紙またはコンピュータ代数パッケージを入手して、πの正確な値πを使用します。

あなたが本当に数式が必要な場合、これは楽しいです：

π= -i ln（-1）

上記でクリスが投稿したブレントの方法は非常に優れています。ブレントは一般に、任意精度の算術の分野における巨人です。

あなたが望むすべてがN桁目であれば、有名な BBP式 は16進数で役立ちます

円領域からπを計算しています:-)

<input id="range" type="range" min="10" max="960" value="10" step="50" oninput="calcPi()">
<br>
<div id="cont"></div>

<script>
function generateCircle(width) {
    var c = width/2;
    var delta = 1.0;
    var str = "";
    var xCount = 0;
    for (var x=0; x <= width; x++) {
        for (var y = 0; y <= width; y++) {
            var d = Math.sqrt((x-c)*(x-c) + (y-c)*(y-c));
            if (d > (width-1)/2) {
                str += '.';
            }
            else {
                xCount++;
                str += 'o';
            }
            str += "&nbsp;" 
        }
        str += "\n";
    }
    var pi = (xCount * 4) / (width * width);
    return [str, pi];
}

function calcPi() {
    var e = document.getElementById("cont");
    var width = document.getElementById("range").value;
    e.innerHTML = "<h4>Generating circle...</h4>";
    setTimeout(function() {
        var circ = generateCircle(width);
        e.innerHTML  = "<pre>" + "π = " + circ[1].toFixed(2) + "\n" + circ[0] +"</pre>";
    }, 200);
}
calcPi();
</script>

平方根と逆数回の実行を気にしない場合、チュドノフスキーアルゴリズムはかなり高速です。2回の反復で倍精度に収束します。

/*
    Chudnovsky algorithm for computing PI
*/

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double calc_PI(int K=2) {

    static const int A = 545140134;
    static const int B = 13591409;
    static const int D = 640320;

    const double ID3 = 1./ (double(D)*double(D)*double(D));

    double sum = 0.;
    double b   = sqrt(ID3);
    long long int p = 1;
    long long int a = B;

    sum += double(p) * double(a)* b;

    // 2 iterations enough for double convergence
    for (int k=1; k<K; ++k) {
        // A*k + B
        a += A;
        // update denominator
        b *= ID3;
        // p = (-1)^k 6k! / 3k! k!^3
        p *= (6*k)*(6*k-1)*(6*k-2)*(6*k-3)*(6*k-4)*(6*k-5);
        p /= (3*k)*(3*k-1)*(3*k-2) * k*k*k;
        p = -p;

        sum += double(p) * double(a)* b;
    }

    return 1./(12*sum);
}

int main() {

    cout.precision(16);
    cout.setf(ios::fixed);

    for (int k=1; k<=5; ++k) cout << "k = " << k << "   PI = " << calc_PI(k) << endl;

    return 0;
}

結果：

k = 1   PI = 3.1415926535897341
k = 2   PI = 3.1415926535897931
k = 3   PI = 3.1415926535897931
k = 4   PI = 3.1415926535897931
k = 5   PI = 3.1415926535897931

より良いアプローチ

piや標準コンセプトなどの標準定数の出力を取得するには、まず、使用している言語で利用可能な組み込みメソッドを使用する必要があります。最速かつ最良の方法で値を返します。私はpiの値を取得する最速の方法を実行するためにpythonを使用しています。

• 数学ライブラリのpi変数。数学ライブラリは、変数piを定数として格納します。

math_pi.py

import math
print math.pi

Linuxの時間ユーティリティでスクリプトを実行します /usr/bin/time -v python math_pi.py

出力：

Command being timed: "python math_pi.py"
User time (seconds): 0.01
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 91%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

• 数学のアークcosメソッドを使用する

acos_pi.py

import math
print math.acos(-1)

Linuxの時間ユーティリティでスクリプトを実行します /usr/bin/time -v python acos_pi.py

出力：

Command being timed: "python acos_pi.py"
User time (seconds): 0.02
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 94%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

• BBP式を使用する

bbp_pi.py

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec=100
print sum(1/Decimal(16)**k * 
          (Decimal(4)/(8*k+1) - 
           Decimal(2)/(8*k+4) - 
           Decimal(1)/(8*k+5) -
           Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100))

Linuxの時間ユーティリティでスクリプトを実行します /usr/bin/time -v python bbp_pi.py

出力：

Command being timed: "python c.py"
User time (seconds): 0.05
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 98%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06

したがって、最善の方法は、言語によって提供される組み込みメソッドを使用することです。これらのメソッドは、出力を取得するのに最速かつ最良だからです。Pythonではmath.piを使用してください