非投影データと予測データを使用して行われた計算のエラー評価

この質問は、「投影データと非投影データからの流れ方向の計算と流域の描写」という題名の質問に基づいています。 投影対非投影DEMデータからの流れ方向の計算と流域の描写

ただし、これは完全に別の質問です。前述の質問では、球形/投影されていない地理座標系のデータでユークリッド距離を想定するアルゴリズム（ArcGISフロー方向など）の使用に問題があることが判明したためです。

地図の投影は、オレンジの皮を取り、それを机の上で平らにしようとするようなものであることがわかっています。地図の投影によって本質的にいくつかのエラーが発生します。ただし、特にデカルト/投影された平面サーフェスを想定する計算を実行している場合は、投影の利点により発生するエラーが相殺されるようです。この場合、私が興味を持っているアルゴリズムは、データが投影されていることを前提とするArcGIS Flow Directionアルゴリズムです（これは、私の研究に基づくほとんどのアプリケーションで採用されている前提です）。これは、距離の計算にユークリッドアプローチを使用しているためです。

私の質問は、非投影DEMデータ（地理座標系のDEMデータ）と投影データ（適切な投影などのDEMデータ）を使用して、特定の調査地域の流れの方向を計算することで発生する可能性のあるエラーをどのように定量化できるかです。 UTMまたは何かコンフォーマル）？

確かに、投影されていない同じDEMデータを使用して、流れ方向ラスターを導出できます。しかし、それではどうでしょうか。私たちの目標は、できる限り正確に地球の表面をモデル化することです（そして、元のDEMなどを作成するプロセスで発生する可能性のあるエラーには対処していません。これらは、私に関する限り一定です）。 ....投影されたDEMから導出された流れ方向データの方が優れていると想定し、2つのラスターの個々のセル値を比較して、（通常のD-8モデルのコンテキストで）方向の値が異なるセルを特定します）？これを行うには、投影されていないデータから派生したフロー方向ラスタを取得し、投影されたフロー方向ラスタで使用されているのと同じ投影法を適用する必要があると思います。

最も意味のあるものは何ですか。また、投影されていないDEMを精度のベンチマークとして何と比較する必要がありますか。

数学の方程式の細部に入ると、それを理解する人にとって、地上レベルでの証明が得られ、一部にとっては十分かもしれませんが、それだけでなく、数学を十分に理解しているが、危険なほど地理/ GISを知っているだけの場合は素晴らしいでしょう（理想的には、両方のレベルがハードコアな地理オタクと平均的なGISのやり手と共鳴するのが良いでしょう）。より高いレベルの人々にとって、証明は数学にあると言って、おそらく議論の余地があるかもしれません-私はもっと具体的なものを探しています（たとえば、政府のある種の非効率性にドルの数字を付けるようなものです）。

これをどのように定量化できるかについての考えやアイデアがあれば、大歓迎です。

トム

分析は前件の質問に対する回答ですでに行われていますが、おそらく図が役立つでしょう。

エラーには、2つの主要なコンポーネントがあります。「d8」アルゴリズムは、8つの基本方向のみのフローを表し、投影の効果（または欠如）です。後者に焦点を当てましょう。これが主な関心事のようです。

エラーは、投影の歪みと地形自体に依存します。局所的に、小さな領域では、地表面のすべての投影の歪みは、垂直方向と比較して一方向に伸びます。これは、楕円が単なる伸びた円であるため、（適切に計算された）Tissot Indicatrixが完全な楕円である理由です。地形は任意のアスペクト（流れ方向）を持つことができます。これを処理するために、単純な流線で実際に可能なすべての方向にポイントがある地形を見てみましょう：コーン。

コーン標高のこの色付きの等高線図に重ねて表示されるのは、水が流れる方向を示す流線のコレクションです。これらの流線が等高線を直角に横切ることを確認することにより、これらの流線が正しいことを確認できます。

座標系（円錐の頂点）に適切な測定単位と適切な原点を選択することにより、座標（x、y）に関する標高の式は簡単です。

z = -Sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）。

流線は常にzの勾配（逆方向）に平行であり、この式をxおよびyに関して微分することによって計算されます。

-Grad（z）=（x、y）/ Sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）。

係数1 / Sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）は方向を変更しないため、流線を理解するために無視できます。したがって、どの位置（x、y）でも、流線は（x、y）方向を指します。

座標の水平ストレッチ（この画像では2倍）の効果は、すべての輪郭を（輪郭レベルを変更せずに）ストレッチすることです：高さは投影の影響を受けません）。（もちろん）等高線は真円を表していますが、マップ上では真円のようには見えません。 それにもかかわらず、これらの座標で流線が計算されるとき、流線は以前と同様に直角に等高線を交差する必要があります。

ストレッチの効果は、新しい座標（ストレッチx、y）の座標（x、y）の任意のポイントに標高を配置することです。これを逆に考えてみましょう。座標（X、Y）=（ストレッチ x、y）の標高は、（x、y）=（X / stretch、Y）で計算されたzの値でなければなりません。したがって、この投影での見かけの表面の方程式は

z = -Sqrt（（x / stretch）^ 2 + y ^ 2）。

差別化し、計算します

-Grad（z）=（x / stretch ^ 2、y）/ Sqrt（（x / stretch）^ 2 + y ^ 2）。

繰り返しになりますが、共通の要素は重要ではありません。したがって、任意の場所（x、y）で、計算された流線は（x / stretch ^ 2、y）の方向を指します。これは、前の図で流線を描画するために使用された式です。等高線が直角に正しく交差していることがわかります。

この3番目の画像は、前の画像を再投影しています。 表面は歪みなくもう一度表示されます。ただし、流線は直角に等高線を横切るようには見えません。 これは前の画像にも当てはまります。その中の歪みのため、角度は直角にしか見えませんでした。交差点はずっと不正確でした。 そのため、投影しない（または非準拠投影を使用する）のは間違いです。 問題は、それがどれほど大きな間違いであるかです。一部の人は、それはほとんど影響がないと主張しています（少なくとも低緯度から中緯度では）。

この再投影（マップの歪みを取り除くため）は、（x * stretch、y）のポイントを（x、y）に戻します。この時点で以前に計算されたストリームの方向は、グリッドに（角度または方向コードとして）格納されていました。変化しません。 したがって、（x、y）で計算されたストリーム方向は（x / stretch ^ 2、y）です。

これは、最初のグラフィックと最後のグラフィックの違いで示されているように、考えられるすべての流れ方向に対する再投影の影響を定量化したものです。以下は、注意をそらすための等高線図なしのオーバーレイです。

再投影は、ティソインディカトリックスの主軸に対する流れの向きに応じて、方向に異なる影響を与えます。これは、投影における相対的な線形歪みの2次関数です。そのため、わずかな歪みでも誇張されます。（ここで示した2の因数は、やや極端ですが現実的です。これは、60度の緯度で、投影に失敗したことによって（つまり、地理座標をマップ座標として使用して）生じた歪みです。）

三角法を少し使用すると、これらの結果を使用して、正しい方向の関数として流れ方向の角度誤差を計算できます。これは、緯度20、30、40、50、および60度での地理的（非投影）座標系の使用に関連するエラーのグラフです。（もちろん、誤差が大きいほど緯度が高くなります。）

「本当の方向」は北の東の度です。正の角度差は、見かけの方向（lat、lonを投影せずに計算）が実際の方向から反時計回りにある場合に発生します。

これらの上にd8エラーを重ね合わせる必要があることを忘れないでください！