地球を球体として近似する精度はどれくらいですか？

地球を球体に近づけると、どのレベルのエラーが発生しますか？具体的には、ポイントの位置と、たとえば、ポイント間の大圏距離を扱う場合。

楕円体と比較した平均および最悪のケースエラーに関する研究はありますか？計算を簡単にするために球体を使用した場合、どの程度の精度が犠牲になるのだろうかと思っています。

私の特定のシナリオでは、変換なしで完全な球体（IUGGによって定義された平均半径を持つ）上の座標であるかのようにWGS84座標を直接マッピングします。

球体モデルに特に興味がありますか、それとも楕円体モデルに興味がありますか？エラーの量は、球体と楕円の間で大きく異なると思います。

— ジェイローラ

関連する分析がこの返信に表示されます。ただし、質問に対する答えを得るには、地球を球体として近似する方法を指定する必要があります。多くの近似値が使用されています。それらはすべて、関数f '= u（f、l）およびl' = v（f、l）を与えることに等しい。ここで、（f、l）は球の地理座標であり、（f '、l'）は楕円体。Bugayevskiy＆Snyder、Map Projections、A Reference Manualのセクション1.7（「回転楕円体の球の表面への変換」）を参照してください。テイラー＆フランシス[1995]。

— whuber

これは、Google / Bing EPSG 900913プロジェクション（WGS84座標を使用しますが、球体上にあるかのように投影する）に関する初期の議論と似ています。過度に気を散らすことなく、この議論のいくつかをフォローアップすると、whuberが提供する優れたリンクの情報に幅を追加できます。

— MappaGnosis

@ Jzl5325：うん、私は楕円体ではなく厳密な球体を意味し、質問を編集してもう少しコンテキストを提供しました。

— ジェフブリッジマン

これを読むべきだと思います：en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula

— longtsing

回答:

要するに、距離は、問題のポイントに応じて、最大約22kmまたは0.3％の誤差が生じる可能性があります。あれは：

誤差は、（i）計算された2つの距離の差に等しい（残留）誤差（キロメートル）、および（ii）差を「正しい」（楕円）値。作業に便利な数値を生成するために、これらの比率に1000を掛けて、1000 分の1で相対誤差を表します。
エラーはエンドポイントに依存します。 楕円体と球体の回転対称性とそれらの両側（南北および東西）の対称性により、北半球の主子午線（経度0）のいずれかに端点の1つを配置できます（緯度0〜90）。）および東半球のもう一方の終点（経度0〜180）。

これらの依存関係を調べるために、緯度90度と90度の間の緯度xの関数として、（lat、lon）=（mu、0）と（x、lambda）のエンドポイント間の誤差をプロットしました。（すべてのポイントは、名目上、楕円体の高さがゼロです。）図では、行は{0、22.5、45、67.5}度のmuの値に対応し、列は{0、45、90、180}のラムダの値に対応します。度。これにより、可能性の範囲を適切に把握できます。予想されるように、それらの最大サイズは、ほぼ平坦化（約1/300）倍の長軸（約6700 km）、または約22 kmです。

エラー

残留エラー

相対誤差

等高線図

エラーを視覚化する別の方法は、1つのエンドポイントを修正し、他のエンドポイントを変化させて、発生するエラーの輪郭を描くことです。これは、たとえば、最初の端点が北緯45度、経度0度にある等高線図です。前と同様に、エラー値はキロメートル単位であり、正のエラーは球面計算が大きすぎることを意味します。

等高線図

世界中を包むと読みやすくなる場合があります。

グローブプロット

フランス南部の赤い点は、最初のエンドポイントの場所を示しています。

記録のために、計算に使用されるMathematica 8コードを以下に示します。

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

そして、プロットコマンドの1つ：

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

— ウーバー
ソース

何ワル回答@whuber

— Ragi Yaser Burhum

最近、この質問を調査しました。人々は知りたいと思う

どの球面半径を使用すればよいですか？
結果のエラーは何ですか？

近似の品質の合理的なメトリックは、大圏距離の最大絶対相対誤差です。

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

可能なすべてのポイントペアで評価された最大値。

平坦化fが小さい場合、errを最小化する球面半径は（a + b）/ 2に非常に近く、結果の誤差は約

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

（10 ^ 6個のランダムに選択されたポイントのペアで評価されます）。球面半径として（2 * a + b）/ 3を使用することが推奨される場合があります。これにより、わずかに大きなエラーが発生します。err= 5 * f / 3 = 0.56％（WGS84の場合）。

球面近似によって長さが最も過小評価されている測地線は、極近くにあります（例：（89.1,0）から（89.1,180））。長さが球面近似によって最も過大評価されている測地線は、赤道付近で子午線方向にあります（例：（-0.1,0）から（0.1,0））。

補遺：この問題に取り組む別の方法を次に示します。

楕円上の均一に分布した点のペアを選択します。楕円体距離sと単位球t上の距離を測定します。ポイントの任意のペアについて、s / tは同等の球面半径を与えます。すべての点のペアでこの量を平均すると、平均等価球面半径が得られます。平均を正確にどのように行うべきかという疑問があります。しかし、私が試したすべての選択肢

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

IUGG推奨の平均半径R ₁ =（2 a + b）/ 3から数メートル以内にすべてが出ました。したがって、この値は、球面距離計算のRMSエラーを最小化します。（ただし、（a + b）/ 2に比べて最大相対誤差がわずかに大きくなります。上記を参照してください。）R ₁が他の目的（面積計算など）に使用される可能性が高いことを考えると、距離の計算にはこの選択を使用してください。

一番下の行：

距離の計算で1％の誤差を許容できる体系的な作業の場合、半径R _1の球体を使用します。最大相対誤差は0.56％です。地球を球で近似する場合は、この値を一貫して使用してください。
さらに精度が必要な場合、楕円測地線の問題を解決します。
包絡線計算の裏には、R ₁または6400 kmまたは20000 / pi kmまたはaを使用します。その結果、最大相対誤差は約1％になります。

別の補遺：大円計算の緯度としてμ= tan ^-1（（1 − f）^3/ 2tanφ）（貧しい人の整流緯度）を使用することにより、大円距離からもう少し精度を絞ることができます。これにより、最大相対誤差が0.56％から0.11％に減少します（球体の半径としてR ₁を使用）。（楕円体の測地線距離を直接計算するのではなく、このアプローチをとる価値があるかどうかは明確ではありません。）

— cffk
ソース