ナビエ・ストークス方程式の粘性応力テンソルの第2項の物理的解釈は何ですか？

私はしばらくの間、この答えを探していました。私は多数のテキストを読んだり、オンラインでいくつかの講義を見たりしましたが、多くの場合、これは決して説明されず、与えられたばかりです。ナビエ・ストークス方程式の粘性応力項は次のようになります

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

今、用語は速度拡散であるため理解するのに十分簡単ですが、用語物理的な解釈をは難しいです。この用語を拡張した後、私は $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

これは、この効果が発散のない速度場に存在しないことを暗示しているように見えますが、この用語が実際に何を意味するのかについて、私はまだ思いつかず、物理的な直感を見つけることができません。この用語が物理的に表すものを誰もが理解していますか？

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— アダム・オブライエン
ソース

加えて：あなたはその用語が非圧縮性の流れに存在しないことは正しい。密度の勾配による運動量の拡散を考慮に入れているようです。流体の2つの隣接する区画は、同じ速度で異なる運動量を持つことができ、それらの間にせん断応力はありませんが、運動量は拡散します。

— ダン

この質問はエンジニアリングのトピックです。この質問の他のサイトを示唆するいくつかのコメントを削除しました。一部には、方程式の応用理解を求めるためだけでなく、これが連続体力学の一部であるためです。あなたのサイトに少し

関連メタディスカッション：meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/...

ゼロ以外の密度勾配のために運動量勾配が存在するという点は、良い点でした。回答ありがとうございます！

— アダムオブライエン

回答:

物理的な解釈を求めて、これらの2つの用語を分離しないでください。用語はひずみ速度テンソルです。流れる流体があるという事実による運動量フラックス（または応力）は、用語。NS方程式では、両方の項は力密度（単位体積あたりの力）と考えることができます。圧縮できないフローの場合、2番目の項はゼロであるということは正しいです（こちらを参照）。 $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

更新：ひずみ速度テンソルの完全な導出は複雑であり、ここでは範囲外になる可能性があります。もし興味があれば、WhitakerによるFluid Mechanicsの紹介が良いリソースであることがわかりました。簡単に言えば、テンソルがひずみ速度と回転運動のような固体を表すことを受け入れ。テンソルは次の方法で分解できます： $\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T} ）

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ 最初の項は通常、ひずみ速度テンソルと呼ばれ、対称的であり、厳密な回転運動が含まれていないことを示すことができます。2番目の項は通常、渦度テンソルと呼ばれ、スキュー対称であり、ひずみ速度に寄与せず、回転運動のような剛性を表すことを示すことができます。

— サロモン・ターグマン
ソース

これは私がそれを調べて見つけたものですが、答えにコミットする前にひずみ速度テンソルの派生物のようなものを見つけて、なぜ通常の行列と転置行列が含まれているのかを理解しようとしました。

— トレバーアーチボルド

ありがとう、私はあなたが示唆したように幾何学からひずみ速度テンソル導出を経験しました、そしてそれは私を大いに助けました。

— アダムオブライエン

私は@sturgmanに同意します。個々の部分を見るのではなく、intコンテキストで理解しようとするべきです。

Navier-Stokes-Equationの非常に基本的なバージョンを見る（Einstein-Notationを使用）：

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

オリジナルのアンダーブレース部分は書き換え可能です。

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

これは以下につながります：

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

記号表記では、これは次のようになります。

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

ニュートンの応力テンソルが導入された方法によっては、パートは常にこのように表示されるわけではありません。以来測定することは非常に難しいですが、少しだけ異なる流体特性で、ストークス仮説に設定します（単原子ガスのために技術的にのみ当てはまります）。 $\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

パートは、流体分子の原子構造がエネルギーを吸収できる流体の特徴を記述しており、圧力粘度と呼ばれることもあります。部分はせん断時の流れの抵抗を表し、部分は「等圧的に」膨張または圧縮されたときの流体体積の抵抗を表します。 $\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
ソース

私は申し訳ありません:-(それは私の意図はなかった。

— peterh -復活モニカ