レオンチェフ経済における競争均衡

すべての消費者が、おそらく異なる、Leontiefユーティリティを持っている経済を考えてみてください。選好は厳密には凸状ではないため、競争均衡が存在することは保証されません。レオンチェフの経済に競争均衡があるかどうかを決定する計算上の問題について議論している論文をいくつか見つけましたが、一般的な存在の結果に興味があります。

A.レオンティエフ経済のどのような条件が競争均衡の存在を保証するのですか？

B.特に、初期の寄付が等しい場合（エージェントのそれぞれが各商品のの割合を受け取る）、競争均衡が存在することが保証されますか？ $m$ $1/m$

consumer-theory competitive-equilibrium

— エレル・シーガル・ハレビ
ソース

@denespなぜあなたの答えを削除したのですか？それは私をほぼ納得させました...

— Erel Segal-Halevi

@denespああ、なるほど！それは興味深い非例です:)

— Erel Segal-Halevi '17

集約ゲームや大規模な匿名ゲームでのナッシュ均衡の存在に関する論文を試すことができます。ワルラスの経済はそのようなゲームであり（価格ベクトルは総計のアクションです）、ワルラスの均衡はナッシュの均衡です。一般に、存在定理はコンパクトなアクションセットと連続ユーティリティを必要とします。

— Sander Heinsalu 2017

真の均衡は存在しないように思われます。とが連続している場合の近似値のみ。@denesp場合、平衡はどのように存在しますか？

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

p_{x} = 0

$p_x=0$

— EconJohn

@EconJohn例：各プレイヤーの初期賦与を想定します。任意の、pricevectorは平衡価格ベクトルです。これは、そのような価格ベクトルが与えられた場合、各消費者は、各財の需要が各財の供給を超えないような最適な消費バンドルを持っていることを意味します。要求量自明であるの両方のプレーヤーのため。以下のための、それは少なくともある任意の数とすることができる。したがって、たとえばは平衡を構成します。

U_{A} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) and U_{B} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) .

$U_A(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2) \mbox{ and } U_B(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2).$

(3, 2)

$(3,2)$

p_{2} \in R_{+ +}

$p_2 \in \mathbb{R}_{++}$

(0, p_{2})

$(0,p_2)$

x_{2}

$x_2$

2

$2$

x_{1}

$x_1$

2

$2$

(2, 2), (4, 2)

$(2,2),(4,2)$

— Giskard

競争均衡の存在結果では、厳格な選好の凸性は必要ありません。Leontiefの設定は非常に行儀が良いです。それらは連続的で、凸状で、非常に単調です。すべての寄付が厳密に肯定的である場合、元のArrow-Debreu論文の最初の結果により、交換経済（または標準条件を満たす生産経済）における競争均衡の存在が存在します。

Arrow-Debreuは実際には凸性を必要としないだけでなく、コメントのdenespで指摘されているように、およびであるユーティリティ関数の凸性の仮定（III.c）を作成します意味します。存在するためには平凸で十分ですが、Leontief設定も条件（III.c）を満たします。：想定します。次に、 $u(x)>u(x')$ $0<t<1$ $u(tx+(1-t)x')>u(x')$ $\min\{\alpha_i x_i\}>\min\{\alpha_i x_i'\}$

min {α_{i} (t x_{i} + (1 - t) x_{i}^{'})} > min {α_{i} t x_{i}} + min {α_{i} (1 - t) x_{i}^{'}}

$\min\big\{\alpha_i (tx_i+(1-t)x_i')\big\}>\min\big\{\alpha_i tx_i\big\}+\min\big\{\alpha_i(1-t) x_i'\big\}$

= t min {α_{i} x_{i}} + (1 - t) min {α_{i} x_{i}^{'}} > min {α_{i} x_{i}^{'}} .

$=t\min\{\alpha_i x_i\}+(1-t)\min\{\alpha_i x_i'\}>\min\{\alpha_i x_i'\}.$

— マイケル・グレイネッカー
ソース

Arrow-Debreuは269 / III.cページで厳密な凸性を要求しませんか？

— Giskard 2017年

@denespその仮定は、厳密な凸性と凸性の間のどこかにあります。強い凸性と呼ぶ人もいます。特に、Leontiefの設定では満足されます（厳密な凸性はそうではありません）。

— Michael Greinecker

それで、Leontief preferencsにはCEが常に存在しますか？これは、2年前に読んだ論文について不思議に思います。AFAIRは、CEが存在するかどうかを判断するのは難しい計算上の問題であると主張しています。答えが常に「はい」の場合、これはどのように難しい問題になりますか？調べるために、これらの論文をもう一度読む必要があります。

— Erel Segal-Halevi 2017年

@ ErelSegal-Halevi上記の論文のいくつかへのリンクはいいでしょう！

— Giskard

@denespここにいくつかのリンクがあります：doi.org/10.1145%2F1109557.1109629とdoi.org/10.1007%2F978-3-540-73814-5_9とdoi.org/10.1007%2F978-3-540-27836-8_33

— Erel Segal-Halevi 2017年