実質資本収益率を債券金利に関連付ける方法：ラグランジアン

家計資源の制約式が次のようであると仮定します： ここで、は時刻の価格、は債券の数量、は債券の数量、は投資、は賃金、は労働量、は名目資本賃貸料、はタイ資本、は配当です。

$$P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t \leq W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t$$ $P_t$$t$$Q_t$$B_t$$I_t$$W_t$$L_t$$R_t$$K_t$$t$$D_t$

ラグランジアンに： $t=0$$E_0 \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(C_t,L_t) - \lambda_t[P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t - (W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t)]$

ラグランジュ点の偏導関数取る：生成すると思われる （期待値記号を落としましたが、あるべきです）$K_{t+1}$$K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I_t$

$$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}$$

そして、に対するラグランジュの偏微分をとる：$B_t$

$$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{P_t}{P_{t+1}}\frac{1}{Q_t}$$

これら2つを同等にして、

$$R_{t+1} = \frac{P_t}{Q_t}$$

撮影$-\log Q_t = i_t$

$$\hat{R_{t+1}} = \hat{P_t} - \hat{Q_t} = \hat{P_t}+i_t$$ ここで、です。$\hat{X} = \log X$

これは私にとって正しい公式ではないようで、間違いを犯したに違いありません。ここで何を間違えましたか？

期待演算子を無視すると、ラグランジュには2つの間違いがあります。最初は制約が期間ごとであるため、割引係数も乗算されます。第二に、資本と債券の解釈に関して、あなたが時間インデックスを書いた方法は一貫していません。が「期間の開始時の資本」を示す場合（そうであるように）、期間開始時に保持された債券を示すために、代わりにも記述する必要があります。これには、の時間インデックスも使用されます。$K_t$$t$$B_{t}$$B_{t-1}$$t$$Q$

また、制約を「通常の形式」（マイクロで言うように）、つまり「ゼロ以上」の制約で記述することをお勧めします。

ある程度までこれを試してみましょう。

$$\Lambda = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t) + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - (P_tC_t + Q_{t+1}B_{t+1}+ P_tI_t)\big)\Big]$$

$$= \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t)\\ + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - P_tC_t - Q_{t+1}B_{t+1}- P_t\big[K_{t+1} - (1-\delta)K_t\big]\big)\Big]$$

それから

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial K_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t P_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}] =0$$

そして

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial B_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t Q_{t+1} + \beta^{t+1}\lambda_{t+1} =0$$

等化

$$\frac {[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}]}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$$

現在、は資本に対する名目総収益であるため、が暗黙的にそこにあります。我々が設定されている場合の関係になります$R_{t+1}$$P_{t+1}$$r_{t+1}\equiv R_{t+1}/P_{t+1}$

$$\frac {[(1+(r_{t+1} -\delta)]P_{t+1}}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$$

ログを取ると、期間について書かれたフィッシャー方程式が得られます。$t+1$