Karush-Kuhn-Tuckerの最適化で解決策が見つからなかったのはなぜですか？

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次のユーティリティ最大化問題があります：条件：

max (x y)

$\max (xy)$

(x + y - 2)^{2} \leq 0

$(x+y-2)^2 \leq 0$

y - 2 λ (x + y - 2) = 0

$y-2\lambda (x+y-2) =0$

x - 2 λ (x + y - 2) = 0

$x-2\lambda (x+y-2) =0$

λ (x + y - 2)^{2} = 0

$\lambda(x+y-2)^2=0$

を設定すると $\lambda>0$ 、次のようになります：

(x + y - 2)^{2} = 0 \Rightarrow (x + y - 2) = 0

$(x+y-2)^2=0 \Rightarrow (x+y-2) = 0$

y - 2 λ (x + y - 2) = y = 0

$y-2\lambda (x+y-2) = y = 0$

x - 2 λ (x + y - 2) = x = 0

$x-2\lambda (x+y-2) = x = 0$

しかし、明らかな解決策は $x=y=1$ です。

を設定

λ = 0

$\lambda=0$ すると、有効な解決策ではありません。制約が低すぎますか？これの説明は何ですか？

よろしくお願いします。

utility optimization

— ユーベル・イルドマール
ソース

方程式を少し単純化しようとしました。同意しない場合は、お気軽に編集をロールバックしてください。

— ギスカード

6

@ user32416が指摘したように、一次定常条件は十分ではありません。具体的には、「実行可能領域には内部点がなければならない」というスレーターの条件に違反しているようです。全く存在しない用の $x,y$

(x + y - 2)^{2} < 0.

$(x+y-2)^2 < 0.$

問題を言い換えると、スレーターの条件が満たされ（線形条件の場合、内部点は不要）、Karush-Kuhn-Tuckerを適用できます。

max (x y)

$\max (xy)$

x + y - 2 = 0

$x+y-2 = 0$

x, y \geq 0

$x,y \geq 0$

— ギスカード
ソース

5

これは不適切な質問です。KKTを通過しなくても、制約は、左側が正方形であるため、実行可能な唯一の解は等式が結合する解であることを意味します。すなわち、またはそのうちと言うのは解です。 $(x + y - 2)^2 \le 0$ $(x + y - 2)^2 = 0$ $|x + y - 2| = 0$ $x = y = 1$

— user32416
ソース

はい。ただし、この言い換えられた問題にKKTを適用できますか？

— ギスカード

1

ここには、一次定常条件のみが含まれています。しかし、補完的なスラックネスと主な実現可能性条件を完全に無視しています。したがって、あなたがそこに書いたものは、完全なKTT定式化すらありません。

— user32416

1

建設的な批判と助けに感謝します！私の教授は、スレーターの状態の重要性を表現したかったため、この問題は明確に定義されていないと述べました。

— ユベルイルドマール

2

既に述べたように、制約はそれ自体が等式制約に変わるようなものです。あなたの問題はそれから単純化されます

max_{x, y} (x y) s . t . x + y - 2 = 0

$\max_{x,y} (xy) \;\;\; s.t.\;\; x+y-2=0$

制約を再配置し、を置換して、単一変数の制約なしの問題を取得します。 $y$

max_{x} (2 x - x^{2})

$\max_{x} (2x-x^2)$

これにより、すぐに解提供されるため、も提供されます。 $x=1$ $y=1$

元の問題でKarush-Kuhn-Tucker条件を使用すると、補完的なスラックネス条件も保持する必要があることを確認するための良い練習になる場合があります（「スレーターの条件」はその定式化の1つです）が、Occamのカミソリは上記のように問題を実際に解決する必要があります。

— アレコスパパドプロス
ソース