直感的な説明

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Slutsky行列に価格ベクトルを右掛けするとゼロ行列になる理由を直感的に説明できますか？

私はこれが真実であることを知っていますが、なぜ真実なのか本当に理解していません。誰でもここで助けることができますか？

microeconomics

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これは、1次の同次である多変量関数の2次導関数/ヘッセ行列の一般的な数学プロパティです。

支出関数は、価格が1次の同次です。どうして？すべての価格が同じ割合で変化する場合（これは、均質性の数学的特性を確認する方法です）、相対価格は変化しません。相対価格が変化しない場合は、与えられた有用性を達成するために、最小コスト補償消費バンドルの定量的組成は変更されません全てで。次に、すべての価格が同じ割合で上昇したため、予算シェアは同じままであり、同じ効用を達成するために必要な支出は、同じ割合で増加します。1次の均一性。 $E$

双対性により、ヒックスの需要ベクトルは支出関数の勾配です。 $H = \nabla_p E$

ヒックスの需要ベクトルは、要求される最小コスト量を提供します。支出関数の次数1の均一性により、ヒックスの需要ベクトルと価格ベクトルの内積は支出関数に等しくなります。これも直感的なものである必要があります：各数量に支払わなければならない単価を掛けるだけで、これらの製品を合計することで、特定のユーティリティの最小コストバンドルを取得するために必要な合計支出を取得します。

したがって、（微分表記法を簡略化する）一方、ます。したがって、また $E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

そして、それはそうでなければならない

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

したがって、ヒックスの需要ベクトルは価格がゼロ次の同次です（数学的には、これは同次関数のオイラーの定理の結果です。つまり、関数が同次度で同次で場合、勾配は同次度）。 $k$ $k-1$

ただし、ヒックスの需要の1次導関数（ヤコビアン）（支出関数の2次導関数のヘッセ行列）は、スルツキー行列、。だから、。 $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

したがって、結果は支出関数の次数1の同質性から生じます。支出関数の1次の同質性の背後にある直感と同様に、直感的な説明はありますか？まあ、前者は後者から直接来るので、「別個の」直感的な議論を思い付くのは困難です。相対価格が同じままである場合、要求された補償量は価格変動の「独立」（影響を受けない）と非公式に言うことができます。そして、幾何学的な用語で言えば、これは、要求される補償量の変化率のベクトル（Slutsky行列の各行に含まれるもの）が価格ベクトルに直交することを意味します。

— アレコスパパドプロス
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ワオ。これは素晴らしい答えです。

— 123

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これを説明と見なすのか、それとも証拠と見なすのかはわかりません。

単変量計算からよりよく理解できるのは、一次のテイラー近似です。つまり、ある規則性条件を満たす関数は、ある点での線形関数で近似できます。と言ってから、周り（つまりが小さい場合） $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

これで、多変数関数に対して同様のことができます。もし、次いで $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

ここで、すべての価格に同じ数を掛けても、ヒックスの需要は変わらないことは明らかです。そこで、価格をからに引き上げるとします。したがって、各価格はの量で比例的に変化します。をに置き換えた場合、上記のの値に変化はないはずです。次に、偏導関数を含む追加の項の合計が0になり、基本的になることを確認する必要があります $\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

別の言い方をすれば、商品に対するヒックスの需要は、相対価格を同じに保つ価格の変化に反応しないため、商品に対するこれらの価格の変化の個々の影響の合計を見ると、 0変更。

— ラマザン
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Mas-Colellで与えられた答えをすでに知っていると思いますが、このプロパティは実際にはお金の錯覚に関係していません（一定の規則条件の下で）、それは需要。ワラスの法則または同等に下で、これがであることを意味することを示すのは簡単です、これをfirs式で置き換えると、ます。統合を使用して、他の方法を使用できます。言い換えれば、私はあなたの消費者が金の幻想に苦しんでいないという確固たる直感だと思います。消費者は合理的ではないかもしれないが、彼女は少なくともこの行動バイアスの影響を受けないことに注意してください。 $x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
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