単調で継続的な選好は必然的に合理的ですか？

ましょう厳密に単調かつ連続的選好関係であること、およびlet X = RはN消費セットです。$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

合理性はこれらの条件によって暗示されていますか？$\succsim$

推移性は連続性によって暗示されると思います。要素が存在するようしかし、完全では、厄介であり、に関して注文することができない≤または≥は、と私たちはことを示すために単調性を使用することができない≿完了する。$x,y \in X$$\leq$$\geq$$\succsim$

Iは、配列構成を考えたとX 1 =のXようにX N → yのいずれかX N ≿ X N + 1またはX N + 1 ≿ X N。次に、推移性と連続性により、xに関してxとyを順序付けることができることを示すことができますが、そのようなシーケンスを構築することは不可能だと思います。$x_{n}$$x_{1}=x$$x_{n} \to y$$x_{n}\succsim x_{n+1}$$x_{n+1} \succsim x_{n}$$x$$y$$\succsim$

任意の助けをいただければ幸いですが、完全な解決策ではなく、ヒントを提供してください。

x = （x 1、x 2）≿ （y 1、y 2）= yとなるような優先関係を考えます$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ 及び X 2 ≥ Y 2。$x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1）この選好関係が厳密に単調で連続的であるかどうかを議論することができます。

2）上記で定義された関係は完全ですか？

次に、サイドディッシュとして、連続性が推移性の原因であるという主張を再考することもできます。

注：思考実験を提供する目的でこの特定の1つを作成しました。あなたの理解に挑戦する方法でもっと。この例があなたの質問に対する答えを提供するかどうかはわかりません。

問題は、合理性が連続性と単調性によって暗示されるかどうかです。これが事実ではないことを示すには、反例で十分です。したがって、私たちは、非推移的、不完全、単調、連続的な優先関係を探しています。

仮定。したがって、我々は、より線の点上嗜好を形成する（0 、1 ）に（1 、0 ）。定義された優先関係考える（1 、0 ）≻ （0.5 、0.5 ）≻ （0 、1 ）≻ （1 、$X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$それ以外の場合は不完全です。$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

合理性

合理性は、優先関係の完全性と推移性で構成され、次のように定義されます。

完全

すべてのためならば優先関係は、完了する、我々は持っています$x,y \in X$、 Y ≿ X、またはその両方を。$x\succsim y$$y\succsim x$

、従って優先関係は完全ではありません。$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

推移性

場合選好関係は推移的である及びY ≿ zは暗示X ≿ Zを。$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

と（0.5 、0.5 ）≿ （0 、1 ）を保持が、$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$、このように優先関係は推移的ではありません。$(1,0)\not \succsim (0,1)$

連続

優先関係は、もし全ての配列のために連続しているに収束（X 、Y ）と∀ I ：X I${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$たちが持っている X ≿ yは。$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

優先関係は連続性に違反しません。配列検討に収束Xは、Y。これらのシーケンスは、他のすべてのx i、y iがx 、yに収束しない、またはx iを満たさないため、x i = xおよびy i = y、およびx ≠ yのようなシーケンスのみです。$x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$。しかし、明確ならば、xが、私は ≿ $x_i \succsim y_i$その後、 X ≿ yの。$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

単調性

場合選好関係は、単調である$x \geq y$意味。$x \succsim y$

関係のすべての要素と見なし、Xはこうして優先関係は単調で、比類のありません。$\geq$$X$

したがって、非推移的、不完全、単調、連続的な優先関係があります。

好みの推移は、「人間の心の一貫性」のある「直感的」という概念に訴えると、すべての例外は、「に対する例外であることを主張することができますルール」、そして私たちが行う十分な抽象ルールを持っています。

それに比べて、完全性ははるかに「信頼の飛躍」です。空にぶら下がっていて、何もないことに起因し、何にも関連していないあなたの質問に対する答えはnoである）。おそらく、「あなたを十分に押すと、あなたを追い払うだけでも、彼はあなたの前に置くペアを最終的に注文する」という下品な発言によってサポートされる可能性がありますが、もちろんこれは、見ながら実際には良いが、理論的には機能しません。

したがって、完全性が存在することを定義するだけです...なぜですか？むしろ管理不能を避けるために問題。完全ではない設定で作業することはどれほど便利ですか？「私はこのモデルを持っている、結果が出るかもしれない、好みが完全であるかどうかに応じて、そうでないかもしれない」と言うのはどれほど便利でしょうか......それの使用は何ですか？それから、代替の決定ルールを考え出すことを余儀なくされます：「好みが完全ではないと仮定し、その人が注文できないペアに出会ったら...」-彼は何をしますか？コインを裏返しますか？しかし、これは「不完全さ」を無関心と同等にするでしょう...

ほかに何か？この考え方は非常に刺激的かもしれませんが、非常に挑戦的であり、確かにそのようなパスが存在するか、または作成できる場合、確実にパスを壊します。（私の意見では、「ファジィ」多様性のさまざまな理論的探求は、まさにこの問題の「中間的な方法」を見つけようとします。 「ペアが表示されます）。