推測と検証

動的計画法では、未決定係数の方法は「推測と検証」として知られています。私は定期的に推測することがあると聞いています。

特に、私は見た

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

前者はログユーティリティに適用され、後者はCRRA設定に関連します。 他にどのような標準的な推測が存在しますか？これらは一般的に特定の形式の戻り関数に結び付けられていますか？

編集：動的プログラムに慣れていない人のために、ここでやろうとしていることは、係数の閉じた形式（例：と）を考え出すことです。単純化するため、関数方程式は通常、一般的な形式ここで、は状態変数進化を記述します。本質的に、今日状態にある値は、今日のリターン関数と明日になる割引値依存します。 $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ リターンに影響すると思われる他の非状態変数を表します。

閉じた形式の解を得ることができる場合があり $V(k)$ ます（...注：右辺が最大化された量なので、解くだけではありません $V(k)$ ）。これには通常、戻り関数について何かを知ってから、 $F(k,u)$ 関数形式について推測することが含まれます。次に、推測により閉形式の解が得られるかどうかを確認します。特に、これには推測の係数の閉じた形式が含まれます（したがって、未決定の係数の方法）。 $V(k)$ $V(k)$

macroeconomics dynamic-programming

— パット・W
ソース

どんな種類のデータを持っているかによります。一般に、ほぼすべての機能を使用できます。しかし、データが効用関数のように分布していると思う場合、を取ることができるよりもこの場合、方程式を線形化できます：係数およびを推定するには、最小二乗法を適用できます：en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@calculus彼はと推定することを求めていません。彼は、特定のユーティリティ関数に対応する値関数を取得する方法として、動的プログラミングと推測および検証の方法について尋ねています。

α

$\alpha$

β

$\beta$

— cc7768

@ cc7768この質問はあまり具体的ではありません。このコンテキストでの動的プログラミングがOPの意味を知りません。ちょっとしたヒントを出したかっただけです。私は、OPが彼が何を求めているのかわからないという印象を受けました。OPは、説明のために編集を行うことができます。

— コールクルス

別のやや標準的な形式は、消費がドリフトを伴うランダムウォークに従う場合のリスクに敏感な好みの値関数です（資本を含むバージョンもあります-Backus Ferriere Zin 2014を参照）。

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

の形式の確実性同値関数を持つEpstein-Zinとして与えられた設定から始め。 $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

その後せる私たちを与えます $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

ログを取得すると、Hansen Sargent 1995、Tallarini 2000などに示されているように、リスクに敏感な好みが得られます。

および定義すると、次のことがわかります。 $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

この値関数の形式は次のように推測できます。

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

参照：

デビッド・バッカス、アクセル・フェリエール、スタインリー・ジン。景気循環のモデルにおけるリスクとあいまいさ。カーネギー-ロチェスター-NYU会議。2014年。
ラース・リュンクヴィストとトーマス・J・サージェント。再帰的マクロ経済理論、第3版。2013年。
TD Tallarini Jr.リスクに敏感な実際のビジネスサイクル。Journal of Monetary Economics。2000年。
LPハンセンとTJサージェント。割引線形指数二次ガウス制御。IEEEトランス自動制御。1995。

追加コメント：あなたの現在の2つのケースが多かれ少なかれ推測によって覆われているこのようにログに減少するので。値関数は無限の履歴を通じて繰り返し取得される1期間のリターン（報酬）関数に関連するため、推測は確実にリターン関数の特定の形式に結び付けられます（消費が一定の場合、幾何学的合計に減少します）。 $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
ソース

特別なケースとしてのログ設定の良い点。これはすばらしい答えです。他の標準的な形式があるかどうかを確認するために、これをもう少し長く開いておくつもりです。

— パットW.