Leontiefの設定

私は数学の知識を使用してほとんどのユーティリティ最大化問題を解決できますが、Leontiefの設定に関しては解決できません。私は頼りになる本を持っていないので（自習）、本当に助けが欲しいのですが。一つのような一般的な最大化問題解決にどのように ここで収入とは良い価格ですか？

$$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$$ $M$$\lambda_i$$i$

本当に、私が導関数と勾配について知っていることはすべて、このいまいましいことで窓の外に出ます。誰かが価格と収入を教えてくれた場合、商品が少ない場合の最適な選択はおそらく常識を適用することで見つけることができますが、一般的なケースはどうでしょうか？Cobb DouglasとCES関数にあるような一般的な「式」はありませんか？これらのケースで使用するいくつかの頼りになる方法はありますか？

ブラケットの直前に演算子がありません。ユーティリティの最大化の問題は次のとおりです。 考慮与えられるユーティリティの2つの商品の場合。最適な状態で、と関係について何を知っていますか？それらは等しい必要があります。つまり、、一般性を失うことなくと仮定します。とそのような選択の有用性は何ですか？それは違いない最大分[ α X 1、。。。、γ X 3$\min$U U （X ）= 分、[ α X 1、β X 2 ] α X 1 β X 2 α X 1 = β X 2 α X 1 > β X 1 、X 1 、X 2 β X 2

$$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$$ $u$$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$$\alpha x_1$$\beta x_2$ $$\alpha x_1 = \beta x_2$$ $\alpha x_1 > \beta x_1$$x_1$$x_2$$\beta x_2$、つまり、一部のお金がに費やされていることを意味します（価格は厳密に正であると想定しています）が、追加のユーティリティは提供されていないため、これは最適な消費の選択にはなりません。$x_1$

したがって、等式は最適に保たれる必要があります（これもグラフから明らかです）。予算の制約とともに、2つの方程式と2つの未知数が得られ、最適な消費のために解くことができます。同様のアプローチは、商品の場合にも適用できます。$n$

もちろん、上記は簡単な効用最大化問題を扱っており、整数プログラミングなどを行っていないことを前提としています。