Take-it-or-leave-it PBE

完全ベイジアン均衡に関する興味深い質問を見つけました。私は信念が離散的ではないという質問を見たことがありません。

売り手にとって価値のないオブジェクトの単一の潜在的な買い手がいます。このバイヤーの評価vは、[0、1]に均一に分散され、個人情報です。売り手は、買い手が受け入れるか拒否する価格 $p_1$ を指定します。

彼が受け入れる場合、オブジェクトは合意された価格で取引され、買い手のペイオフは $v − p_1$ で、売り手のペイオフは $p_1$ です。

彼が拒否した場合、売り手は別の価格を提示します、p2。買い手がこれを受け入れた場合、彼のペイオフは、 $\delta_(v − p_2)$ と売り手のは、ある $\delta p_2$ 、 $\delta = 0.5$ 。

彼が拒否した場合、両方のプレイヤーはゼロになります（それ以上のオファーはありません）。

完全なベイズ均衡を求めます。

私の通常のアプローチは信念を修正することですが、継続的な信念でこれを行う方法はよくわかりません。何かアドバイス？

game-theory academic-graduate bayesian-game

— ブライアン
ソース

すみません、部分的なアドバイスをする簡単な方法は考えられませんでした。これはいい練習です。クラスで使用してもよろしいですか（または作成者）。

— Giskard、2015年

もちろんお気軽に！

— ブライアン

昨日悪い解決策を投稿した後、私はより良い解決策を得たと信じています：

バイヤーの戦略は、2つの関数で構成され、両方の関数がマップされ（はAccept、表します）拒否）。売り手の戦略は $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ $\left\{A,R\right\}$ $A$ $R$ 。あなたは逆帰納法によって解決策を得ます。PBEでにマッピング場合にのみ。（平等には取るに足らない余裕があります。）PBEでは、売り手は買い手がオファー拒否したタイプのセットがあると信じています。その後、 $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ $f_2(v,p_1,p_2)$ $A$ $v \geq p_2$ $H$ $p_1$ 買い手は、オファー受け入れる場合に限り、このことからあなたが得る

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

この方程式の左辺は

で増加しているため、評価の高い型が受け入れられます。PBEに設定することをこれは、

そのようなことである

このことから、我々は最適の取得

与えられた

：

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

PBEで

の関数であり、

：

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

そう

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$

我々は、すべてのPBE戦略が、決定した

。売り手の期待利得であり

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$

ここで

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

この代入我々入手

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

$p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— ギスカルド
ソース

この質問は、クローズドユニットインターバルとして表されるさまざまな評価の消費者を選別しようとする会社としても解釈できると思います。最適な価格設定スキームは、高評価の顧客が最初の段階でより高い価格で支払うように2つの価格を設定することであり、低評価の顧客のいくつかは第2段階でより低い価格で支払うことになります。

— メッタワールドピース

ラウンド2でユーティリティが異なる理由を説明する必要があります。売り手にとっては単純な割引である可能性がありますが、買い手にとってはどうでしょうか。商品が耐久性のあるものである場合、商品を購入するタイプは両方のラウンドでいくつかの利点を受け取ります。

— Giskard、2015年

私は完全に従わない。なぜバイヤーは第2ラウンドで得られたユーティリティを割引できないのですか？これは2期価格のスキミングと解釈できますよね？

— Metta World Peace

恥ずかしいけど、今までこのモデルについて聞いたことがありません。あなたは正しいです、これは上記のゲームをうまく説明しています。

— Giskard

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$