代用性が混合偏微分とどのように関連するかを理解しようとしています。 $ x $の量の変化に対する限界効用の変化は$$ \ frac {\ partial U} {\ partial x} $$に対応すると思ったので、その一部を取ると混乱します$ y $に関して。これは、$ y $を変更したときにMUが$ x $に対して変化する率を測定するのでしょうか。それは代替品であることとどのように関連していますか？
回答:
ここで非常に重要なことは、代用/補数を定義する方法について、互いに矛盾する、複数の可能性があることに注意することです。
1つの方法は、$ y $の増加が$ x $の限界効用を上げるならば（またはその逆も同様です）、$ x $と$ y $を補完すると言うことです。 $$ \ frac {\ partial ^ 2 U} {\ partial x \ partial y}＆gt; 0 \ tag {1} $$これはfoobarの答えの中の提案です。
もう1つの方法は、$ y $の価格が下がるとHicksian（別名補償付き）の$ x $の需要が上がる場合、$ x $と$ y $は補完すると言うことです。 Hicksianの需要はコスト（別名支出）関数の導関数です。 シェパードの補題 、これは混合部分音の条件として表現することもできます。 $$ \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial p_x \ partial p_y}＆lt; 0 \ tag {2} $$ これはsnoramのコメントでの提案であり、それはマイクロクラスでより一般的に教えられている概念です。
これらの定義は同等ではありません。確かに どれか 商品が2つしかない場合は、（1）の$ U $のクロスパーシャルが正であるかどうかにかかわらず、それらの2つの商品は（2）に従って代替品でなければなりません。
これらの概念に実りあるラベルを付けることができます（これらのラベルは実用的機能よりも生産の場合にはより一般的です）。ヒックスに従って、我々は定義によって補数と呼ぶことができる（1） q補数 ：$ x $と$ y $がqの補数ならば、 量 $ y $を超えると、限界値$ x $が増加します。その間、私達は定義によって補足物を呼ぶことができる（2） p補数 ：$ x $と$ y $がpの補数ならば、 価格 $ y $を支払うと、$ x $の需要が増加します。例えば、 Seidman（1989） 簡単な概要については。
どちらの概念もさまざまな状況で役立ちます - それはあなたが何に興味を持っているかによって異なります！
より技術的な注意： （1）と（2）はあまり似ていないように見えることに気付くかもしれません。（2）は 補償された （1）はそうではありませんが、概念は、同じ無差別曲線に私たちを保ちます。これは正当な批判であり、実際には補償される「q補数」の概念とそうではない「p補数」の概念があります。
q補数の補償された概念は、（1）よりもおそらくほとんどの消費者理論の応用に関連しており、同じ無差別曲線を維持しながら、$ y $を増やすにつれて$ x $への限界リターンが増加するかどうかを尋ねます。 （それは、本質的にあいまいな基数$ U $に依存しないため、消費者理論により関連性があります。実際、Hicksは1956年に「q補数」の消費者理論定義としてこれを紹介しました。 需要理論の見直し この概念には、距離関数と呼ばれるものという点で、部分的に特性が混在していることもあります。距離関数の混合偏微分の行列はAntonelli行列と呼ばれ、それは最愛のSlutsky行列の一般化逆行列です。
p補数の他のバージョンについて考えたいのであれば、いくつかの選択肢があります。 1つの方法は所得を一定に保ち、$ y $の価格の低下がマーシャルの$ x $の需要を増加させる場合、$ x $と$ y $は補完的であると言うことです。これは有効な概念です（「純」ではなく「総」相補性と呼ばれます）が、対称的ではないため（収入効果のため）、したがって部分的な特性の混在はありません。
もう1つの、よりよい方法は保持することです 富の限界効用 定数（これは「フリッシュ」需要と呼ばれ、生産量の価格を一定に保つ、利益最大化の消費者理論の類似物です）、そして、$ y $の価格の減少が$の需要の増加につながるかどうかを尋ねますx $これは、 逆 これは、Antonelli行列とSlutsky行列との間の上記の逆関係に類似する（1）（Hessian行列自体に依存します）との逆関係を明らかにしています。
独立しているべき2つの商品について考えてください。たとえば、$ x = $ shoesおよび$ y = $コンピュータゲームとします。
補数は補完性を意味します：あなたがより多くの$ x $を持っているとき、あなたはもっと$ y $もっと楽しむことができます。したがって、正の交差微分係数です。
言い換えると、分離不可能な効用があります。$ U（x、0）+ U（0、y）＆lt; U（x、y）$代替手段はあなたが指定したものです： マージンで $ x $を持つことで、あなたはもっと$ y $を楽しむことができます。
私たちの靴とコンピュータゲームでは、確かにクロスデリバティブは0です。アイスクリームとスプーンでは、それはおそらく肯定的です。
最後に、チョコレートとアイスクリームについて考えます。彼らは代用品として働くと主張するかもしれません（例えば砂漠について考えてください）： または もう一人。 無料で入手した場合 確かに、両方を持っていても問題ありません。しかし、あなたが公正な価格を支払わなければならないなら、あなたは選択肢の1つに対して価格を支払うことを好み、それに固執します。