マーシャルのコブ・ダグラスへの需要

cobb-douglasユーティリティ関数$u=x_1^ax_2^b$を持ちでユーティリティを最大化しようとすると、次の式が見つかりました（Wikipedia：Marshallian Demand）：$a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

私の本の1つで、同じ目的でこれらの式を見つけました。

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

：財の価格。：予算$p_i$$m$

私はそれらすべてをテストしましたが、同じ結果が得られました。
違いはありますか？

以降の式は全く同じです。以下のために代入 +のBで 1第三及び第四の式では第一及び第二の方程式を与えます。$a + b=1$$a+b$$1$

これは、最初の方程式から2番目の方程式に至る方法です。あなたの効用関数はなので 、a + b = 1をaと（1-a）に少し変更します。これら2つの選択肢を最適化するには、ユーティリティを最大化し、選択変数を使用します。$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

ワルラスの法則を使用して、ます。基本的に、ユーティリティを最適化するために、すべてのお金が費やされます。$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Cobb-Douglas関数は、通常、最適化問題では困難です。関数の順序プロパティを保持する単調変換を使用できます。

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

代わりに使用されます。同じ予算制約が適用されます。

ラグランジュと一次注文条件は以下のとおりです

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

一次条件を操作すると、

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

そして

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$