デブレウの定理の適用/一般化

デブリューの論文「近隣の経済主体」（La Decision 171（1969）：85-90; G. Debreu、Mathematical Economics：Twenty Papers of Gerard Debreu（1986）、pp.173）の最後の定理がどのようになっているか知りたい-178）使用されています：

定理。 トポロジー空間と計量空間場合、コンパクトな値（つまり、はすべてのに対してコンパクト）で連続的なからへの設定値のマッピングとします。さらに、各、を\ varphi（e）の完全なプレオーダーとして、セット\ {（e、x、y）\ in M \ times H \ times H：x \ lesssim_e y \}とする閉じています。次に、設定値マッピング\ varphi ^ 0をMからHにマッピングします。H φ M H φ （E ）E ∈ $M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

コンパクトな値で上半連続です。

定理はよく知られているベルゲ最大定理に似ていることに注意してください。定理の説明の前に、Debreuはその特別なケースは「経済均衡の理論とゲーム理論で繰り返し使用されてきた」と書いていますが、言及はしていません。ペーパー自体では、それは為替経済におけるエージェントの需要対応の上位の半連続性を証明するために使用されます。

私は特に、この定理の最近の使用や一般化があったかどうかに興味があります。たとえば、コンパクトな値ではないマッピングです。

質問：上記の定理のアプリケーションの良い例や参考資料は何ですか？コンパクトな値ではないマッピングに一般化されていますか？

この結果は、確かにベルゲの最大定理のバージョンです。場合に限り、ような連続関数がある場合、結果を直接導出できます。ベルゲの最大定理から。場合それがあればそうであるように、局所的にコンパクトであり、、そのような機能は常に見つけることができ、これは、MAS-Colellので定理1から次の予約購入の連続表現について（もし少なくともは計量可能です、その点についてはわかりません）。そのような「共同連続ユーティリティ関数」の詳細は、優先順位の表現の表現の第8章にあります。$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$、1995年、Bridges＆Mehta著。

現在、デブリューはそのような結果を利用できなかったので、彼は選好関係で働き、本質的にベルゲの最大定理を一般化しました（一般化は数学的に簡単です）。なぜ彼はそうしたのですか？それを理解するためには、デブロイの論文の要点を理解する必要があります。それは、ニオイの特性を持ち、経済行動を継続させる選好関係のトポロジーを見つけることです。そのような結果の必要性は、一連のエージェントを持つ経済に関する文献から来ています。

エージェントの経済の連続が有限のエノミーのシーケンスの限界であることはどういう意味ですか？1つの答えは、エージェントの特性の分布は連続体経済の特性の分布に収束するため、収束の概念は分布の収束です。このアイデアを機能させるには、エージェントの特性を謝罪する必要があります。現在、エージェントは彼女の寄付と彼女の好み（そしてより一般的なモデルでは彼女の消費セット）によって特徴付けられています。寄付には自然のトポロジー、ユークリッドトポロジーがありますが、好みを整理することはそれほど簡単ではありません。それはデブリューが彼の論文で行ったことです。この分布アプローチの解説は、1974年のヒルデンブランド、大規模経済の中核と均衡に見ることができます。

さて、非コンパクトな選択肢のセットにベルゲの定理を適用したい場合があります。これは、無限の商品スペースを持つ経済を研究する場合に重要になる可能性があります。その場合、閉じられて制限されていることはコンパクトさを意味しません。この問題に対処する1つの方法は、コンパクトセットを見つけることです。これにより、このセットに制限されている場合に、対応がコンパクト値で空でない値になります。「一般化されたゲーム」または「抽象経済」（戦略空間が他の行動に依存する基本的に通常のゲーム）に関する大規模で非常に技術的な文献があり、それらには暗黙のうちにベルゲの定理の非コンパクトな一般化が含まれることがよくあります。あなたが本を手に入れることができるなら、Xian-Zhi Yuan 1999の第4章、非線形解析におけるKKM理論と応用をチェックしてください。しかし、私の印象は、これらの結果は経済的なアプリケーションではそれほど役に立たないことがわかったということです。無限次元の商品空間を持つモデルでワルラス均衡の存在を証明するには、通常、さまざまな方法を使用します。