無限の戦略を持つゲームへのナッシュ均衡の拡張

Jehle and Renyの教科書（いくつかの関心のあるセクションを超えてほとんど読んだことがない）で、有限の戦略的フォームゲームには常に（混合）ナッシュ均衡が存在するという定理が証明されています。この本では、すべてのプレイヤーが同じ数のアクションを利用できると想定していますが、これが真実ではない場合にどのように拡張されるかを想像するのは難しくありません。

$[0, 100]$

そのため、2つの質問があります。

戦略を無限に選択できるゲームがナッシュ均衡になるような明確な設定はありますか？
これに関連する読みは何でしょうか？

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回答:

はい、そのような設定があります。結果は

各プレイヤーの戦略スペースが

凸

コンパクト

ペイオフが継続している場合、少なくとも1つのNash均衡が存在します（混合戦略の可能性があります）。

これは、可能なアクションのセットが数え切れないほど無限である場合でも当てはまります。さらに、ペイオフが準凹型であると想定すると、純粋な戦略に注意を向けても、そのようなゲームの純粋な戦略に少なくとも1つの均衡があることが保証されるように、最良応答の対応は凸になります。

ここの元の参照は

IL Glicksberg。「角谷不動点定理をさらに一般化し、ナッシュ平衡点に適用。」 アメリカ数学会の議事録、3（1）：170–174、1952。

しかし、グリックスバーグの論文の扱いは、あまりアクセスしにくいようです。出発点としては、Fudenberg＆Tiroleの著書「Game Theory」のセクション1.3が適切です。

— ユビキタス
ソース

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

いいえ、閉じた制限付きの発言はコンパクト性に関連しています。コンパクトセットの定義は、閉じた制限付きの定義です。

— ユビキタス

右、申し訳ありませんが、「and」の配置を誤って読みました。

実際、引用された論文Glicksbergは、コンパクトさの特徴付けが当てはまらない状況で明示的に動作します---ノルムで閉じられ、制限されているノルムベクトル空間では、weak- *コンパクトさのみを意味します。

— Michael

@densep一致するペニーゲームでは、使用可能なアクションは離散的であり、したがってゲームには非凸戦略スペースがあるため、上記のステートメントの最初の条件は失敗します。

— ユビキタス

コンパクトさと凸性はまだ必要ですが、次のリファレンスでは、特定のタイプの不連続性を持つベクトル空間ゲームでの存在を扱います。

Reny、P.（1999）「不連続ゲームにおける純粋な混合戦略ナッシュ均衡の存在について」、Econometrica 67、1029-1056

— アダムスキー
ソース