LeontiefおよびCobb-Douglas生産関数をCES関数から取得するにはどうすればよいですか?


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それは置換定数弾性(CES)生産関数ことが記載されているほとんどのミクロ教科書において、

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(置換の弾性はσ=11+ρ,ρ>1)は、その限界として、レオンチェフの生産関数とコブダグラス関数の両方を持っています。具体的には、

limρQ=γmin{K,L}

そして

limρ0Q=γKaL1a

しかし、これらの結果に対して数学的な証明を提供することはありません。

誰かがこれらの証拠を提供してもらえますか?

さらに、上記のCES関数は、外部指数がであるため、一定のスケールリターン(1次の均一性)を組み込んでいます。それがあった場合は、言う、その後、均質性の程度は次のようになり。 1/ρk/ρk

場合、制限結果はどのように影響されますか?k1


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これは、それを解決するための事前の努力なしの宿題の質問のようです。meta.economics.stackexchange.com
questions

1
確かに話題の主題ですが、質の低い質問です。宿題のフセイインでなくても、a)表記に注意してください(ρを使用しましたp)およびb)問題を解決するために考えたいくつかの考えと方法を提供してください。私たちは自分自身助ける人々を助けるためにここにいます。プロのサービスを無料で提供するためではありません。
アレコスパパドプロ14

2
数学は、スタック交換ネットワークのほぼ全体とは異なる方法で処理します。math.seでのみ、他の人が問題を解決するために努力を示すことなく問題を送信できます。このような質問は、ここではなくmath.seに保存してください。
EnergyNumbers 14年

2
あなたが「証明する必要がある」とあなたがそれを証明する必要がある理由を何も示さずに言うとき、人々はこれが宿題であると仮定するでしょう。
スティーブンランズバーグ14年

1
@Huseyin質問が再び開かれ、回答が提供されたので、Cobb-Douglas制限の回答を投稿しませんか?
アレコスパパドプロ14

回答:


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私が提示する証明は、CES生産関数が一般化された加重平均の形を持っているという事実に関連する技術に基づいています。
これは、CES機能が導入された元の論文、Arrow、KJ、Chenery、HB、Minhas、BS、およびSolow、RM(1961)で使用されました。資本労働の代替と経済効率。経済学と統計のレビュー、225-250。
そこでの著者は、読者にHardy、GH、Littlewood、JE、&Pólya、G.(1952)という本を紹介しました不等式、第章。2

我々は、一般的なケースを検討

Qk=γ[aKρ+1aLρ]kρk>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1)リミットときρ
ときに我々が限度に興味があるので、私たちはそのための間隔無視することができρ 0を、そして御馳走ρを厳密に正として。ρρ0ρ

一般性を失うことなく、想定。また、K L > 0もあります。次に、次の不等式が成り立つことを確認します。KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

全体で乗することにより、ρ/k

実際の仮定を考慮すると、明らかに、保持しています。次に1)の最初の要素に戻り、

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

から1 / L kの中間項を挟むので、(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

したがって、場合、基本的なLeontief生産関数を取得します。k=1

2)リミットときρ0
として指数関数を使用した書き込み機能

(4)γ1Qk=exp{kρln[aKρ1+1aLρ1]}

に関する対数内の項の1次マクローリン展開(ゼロを中心とするテイラー展開)を考えます。ρ

aKρ1+1aLρ1=aK01+1aL01aK02K0ρlnK1aL02L0ρlnL+Oρ2

=1ρalnKρ1alnL+Oρ2=1+ρ[lnKaL1a]+Oρ2

これを戻し、外側の指数関数を取り除き、4

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

ケースでは、定義、不透明である再書き込みおよびr1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

これは、無限大での制限が指数関数的なものを与える式のように見えます。

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

関数の均一性の度合いは保持され、k = 1の場合、コブダグラス関数が得られます。kk=1

ArrowとCo がCES関数の「分布」パラメーターを呼び出すようにしは、この最後の結果です。a


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Cobb-Douglas and Leotiefを取得する通常の方法は、L'Hôpitalの規則です。

別の方法も使用する必要があります。設定リターンあろうQ = [ K - ρ + 1 - L - ρ ] - 1γ=1及び Q-ρ=[K-ρ+1-L-ρ] 我々が持っているであろう差分を介して全微分することにより -ρQ-ρ-1、DQ=-ρK-ρ-1つのDK- 1-ρL-ρ-1次元LQ=[aKρ+1aLρ]1ρ

Qρ=[aKρ+1aLρ]
ρQρ1dQ=aρKρ1dK1aρLρ1dL
いくつかの操作で、主な方程式が得られます。

dQ=aQK1+ρdK+1aQL1+ρdL

リムρ1dQQ=aK+1aL

リムρ0dQ1QdQ=a1KdK+1a1LdL

1QdQ=a1KdK+1a1LdL

Q=KaL1aeC=AKaL1a

リムρdQmnaK1aL


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(+1)Cobb-Douglas関数の取得方法が特に気に入っています。
アレコスパパドプロ14

ありがとう@AlecosPapadopoulos。しかし、なぜ誰かがこの投稿を嫌うのかわかりませんか?このタイプの質問は、少なくとも私に脳の嵐をもたらすかもしれないと思います。
フセイイン14

1
フセインを厳密に言えば、彼らは正しいです。あなたはあなたの質問にあなたの答えの少なくとも一部を含めるべきでした。
アレコスパパドプロ14

差分を取ることと制限を取ることと「同等」の統合はありますか?一般に、差分を取り、統合して制限を見つけることができますか?または、これは特別なアプリケーションですか?
PGupta
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