LeontiefおよびCobb-Douglas生産関数をCES関数から取得するにはどうすればよいですか？

それは置換定数弾性（CES）生産関数ことが記載されているほとんどのミクロ教科書において、

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

（置換の弾性は$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$）は、その限界として、レオンチェフの生産関数とコブダグラス関数の両方を持っています。具体的には、

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

そして

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

しかし、これらの結果に対して数学的な証明を提供することはありません。

誰かがこれらの証拠を提供してもらえますか？

さらに、上記のCES関数は、外部指数がであるため、一定のスケールリターン（1次の均一性）を組み込んでいます。それがあった場合は、言う、その後、均質性の程度は次のようになり。 $-1/\rho$$-k/\rho$$k$

場合、制限結果はどのように影響されますか？$k\neq 1$

私が提示する証明は、CES生産関数が一般化された加重平均の形を持っているという事実に関連する技術に基づいています。
これは、CES機能が導入された元の論文、Arrow、KJ、Chenery、HB、Minhas、BS、およびSolow、RM（1961）で使用されました。資本労働の代替と経済効率。経済学と統計のレビュー、225-250。
そこでの著者は、読者にHardy、GH、Littlewood、JE、＆Pólya、G.（1952）という本を紹介しました。不等式、第章。$2$

我々は、一般的なケースを検討

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1）リミットとき$\rho \rightarrow \infty$
ときに我々が限度に興味があるので、私たちはそのための間隔無視することができρ ≤ 0を、そして御馳走ρを厳密に正として。$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

一般性を失うことなく、想定。また、K 、L > 0もあります。次に、次の不等式が成り立つことを確認します。$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

全体で乗することにより、$\rho/k$

実際の仮定を考慮すると、明らかに、保持しています。次に（1）の最初の要素に戻り、

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ $(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

から（1 / L k）の中間項を挟むので、$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

したがって、場合、基本的なLeontief生産関数を取得します。$k=1$

2）リミットとき$\rho \rightarrow 0$
として指数関数を使用した書き込み機能

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

に関する対数内の項の1次マクローリン展開（ゼロを中心とするテイラー展開）を考えます。$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

これを戻し、外側の指数関数を取り除き、$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

ケースでは、定義、不透明である再書き込みおよび$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

これは、無限大での制限が指数関数的なものを与える式のように見えます。

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

関数の均一性の度合いは保持され、k = 1の場合、コブダグラス関数が得られます。$k$$k=1$

ArrowとCo がCES関数の「分布」パラメーターを呼び出すようにしは、この最後の結果です。$a$

Cobb-Douglas and Leotiefを取得する通常の方法は、L'Hôpitalの規則です。

別の方法も使用する必要があります。設定リターンあろうQ = [ K - ρ + （1 - ） L - ρ ] - $\gamma=1$及び Q-ρ=[K-ρ+（1-）L-ρ] 我々が持っているであろう差分を介して全微分することにより -ρQ-ρ-1、DQ=-ρK-ρ-1つのDK- （1-）ρL-ρ-1次元$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$ いくつかの操作で、主な方程式が得られます。

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$