ユーティリティmin（x、y）関数を指定して需要関数を見つける

需要関数を見つけることに関して、私は特定の点について混乱しています。私が行っているこの練習セットのすべての問題には、ラグランジュ乗数の方法を適用することが含まれています。しかし、それがこの問題に当てはまるかどうかはわかりません。

問題の設定

$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

私の仕事

まだやることは多くありません。私がしたことは、予算制約でした。$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$

私の混乱

突然、自分の効用関数が関数であることに気付いたとき、ラグランジュ乗数方程式を設定する準備がすべて整いました。最初は、この機能は区別できないと思いました。今、それは微分可能ではないが、部分的に微分可能であると考えています。まだわかりません。$\min$

私の推測

はい、はこのスレッドに基づいて部分的に区別できると思います$\min$

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

しかし、私は私の答えは区分的なコンポーネントか何かが必要になると思います。

私の質問

ラグランジュ乗数はここで適用できますか？もしそうなら、私がする必要があると思うように、区分的にラグランジュをどのように定義しますか？区別できない場合、関数または関数を指定して需要関数をどのように導出できますか？$\min$$\max$

いいえ、ここではラグランジュ乗数を使用しないでください。と仮定します。具体的にはます。してみましょう。次に、 したがって、消費者は悪化することなく、商品2の消費を減らすことができます。一方、すべての場合、となるため、消費者は二次財の消費を減らし、解放されたお金を一次財に使うことによって。最適化では、消費者は改善できないため、最適化にはが必要です。消費者が沿って改善していることも明らかです$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45°光線。したがって、予算制約に代入してラグランジュ乗数をバイパスする最適条件として、を使用するだけで済みます。$x=y$