ラグランジュ乗数の理解に役立ちますか？

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私はラグランジュ乗数を理解しようとし、オンラインで見つけた問題の例を使用しています。

問題の設定：

効用関数を消費者考える $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ 、 $\alpha \in (0,1)$ 。この消費者に富 $w$ と価格 $p =(p_x,p_y)$ ます。与えられたのはそれだけです。

私がした仕事：

次に、予算制約式を定義しました： $w = xp_x + yp_y$ 。：私はまた、その後消費者の最大化問題のための関連するラグランジュを定義 $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ 。

私の質問：

この方程式で何ができますか？Wikipediaのラグランジュ乗数のページにある公式を参考にして設定しましたが、この方程式の目的が何であるかは本当にわかりません。与えられた方程式がどのようにして効用関数を最大化するかを決定することを私がどのように可能にするか理解していないように。

注：私は物理学の多変数計算とラグランジアン（ $L = T -V$ ）に精通していますが、この方法は初めてです。

utility

— スタン・シュンパイク
ソース

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ここで良い答えが得られない場合は、math.stackexchange.comで質問することを検討してください。良い質問。

— 123

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制約付き最適化関数は、1つ以上の制約の対象となる目的を最大化または最小化します。私が理解しているように、ラグランジュ乗数アプローチは、制約付き最適化問題（I）を制約なし最適化問題（II）に変換します。ここで、問題IIに対する最適制御値は問題Iに対する最適制御値でもあります。さらに、目的関数問題IとIIは同じ最適値を取ります。トリックは、制約を個別に使用するのではなく、目的関数に直接入れる賢い方法です。

：私は消費者の最大化問題のプレゼンテーションに同意 $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ 。

次に、xとyに関する偏導関数を取得し、それらをゼロに設定してから、x *とy *を解きます。

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

（式1） $\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

偏微分取ることによって、予算制約式を回復。 $\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

（式2） $0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

これで2つの方程式と2つの未知数（x、y）が得られ、x *とy *を解くことができます。

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

（結果1） $\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

（結果2） $\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

結果1と2は、コブダグラスユーティリティと生産機能の有名な一定の支出シェア結果を形成します。これはまた、明示的に、X *およびyについて解くことができる*：及びラグランジュと元の問題の両方に対する最適値です。 $x^* = \alpha w /p_x$ $y^* = (1-\alpha) w /p_y$

— BKay
ソース

あなたの最後の文章に関して、なぜ私たちも

について解いていないのですか？ので、私は、認識

1（度別名）次数

の偏微分取る、

λ

$\lambda$

Λ (x, y, λ)

$\Lambda(x,y,\lambda)$

λ

$\lambda$

削除し

それの誘導体は、当然1であるので、変数になってしまうしないから。これは意図的ですか？

\frac{\partial Λ}{\partial λ}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}$

λ

$\lambda$

— Stan Shunpike、2015年

私は答えを拡大し、うまくいけばこれを少し明確にした。はい、あなたはのメーク利用ください

あなたは予算の方程式を回復し、最終的にxとyの最適値を解く方法です。しかし、実際にはラムダを選択しません。xとyのみを選択できます。

は、選択変数というよりも価格（シャドー価格）に似ています。

\partial Λ / \partial λ

$\partial \Lambda / \partial \lambda$

λ

$\lambda$

— BKay

それで解決しました。明確にしていただきありがとうございます。私はここで例：math.stackexchange.com/questions/674/…を使用して作業しましたが、どういうわけか実際に数値があると混乱しました。変数を見ることはより理にかなっています。

— Stan Shunpike、2015年

@BKayどうやって

を取得しますか

？

\frac{y p_{y}}{w} = \frac{x p_{x}}{w (α - 1)}

$\frac{y p_y}{w}=\frac{x p_x}{w(\alpha - 1)}$

— Mathemanic 2015年

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これは直感のためであり、厳密さではなく、制約から逸脱する方法を知っていることを前提としています。ここでは簡単です。あなたは過剰に使いたいので、ラグランジュを呼び出して、より多くを費やすよりもを使うように訓練します。次の手順で問題を考えてください。 $w$

外出してピザ（）とビール（）を消費し、両親にクレジットカードを借りるように依頼します。 $x$ $y$
あなたのご両親はとてもクレジットカードで次の警告を取得し、あなたを知っている：あなたはより多くを過ごす場合、私たちは私たちの邪悪な隣人氏ラグランジュようになる痛みの価値が提供する、あなたの指をピシャリあなたはドルあたりのユーティリティユニットを浪費。 $w$ $\lambda$
ラグランジュを見てください。それはピザの機能（と、今ペナルティのあなたの効用ネットで）、ビール（）と痛み（）。あなたの観点からは、与えられたこれを最大化するだけです（つまり、が非常に小さい場合、予算を大幅に超えると、ラグランジュ氏が数回スラップする価値があります）。 $x$ $y$ $\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$ $\lambda$ $\lambda$
あなたの両親の視点から、彼らはあなたが自発的に正確にを使うことを自発的に選択させる数にを調整し、ラグランジュ氏を寄せ付けないようにします。（高く選択すると、支出が少なくなり、それに応じて解釈を調整できます。） $\lambda$ $w$ $\lambda$
もちろん、追加の消費とペナルティのバンドルを持っているか、持っていないかで無関心であるレベルを正確に選択します。したがって、シャドープライスの解釈：は（より正確には、一次近似）、喜んで支払う金額です- 目的関数と同じ単位です！予算を増やしてください。 $\lambda$

制約の記号を変更する提案についてはもちろんです。もちろん、数学的には機能しますが、説明の目的で使用することはほとんどありません。それを、それがされて残し、制約公開さと同等に（あなたが好きではない、それはあなたの有用性を低減）税あなたは、どちらかのようなそうでありません（同じ理由）。経済的な観点から見ると、税によって実施される制約の考え方がわかります。これは、たとえば、ピグー税を内部化する（不要なマイナスの）外部性をモデル化するときに役立ちます。 $u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

— ニルス
ソース

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Lgrange乗数を使用して制約下で関数を最適化することは有用なテクニックですが、最終的には追加の洞察と情報を提供します。等式制約の場合に固執すると、問題

max_{(x, y)} u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

s.t. w = p_{x} x + p_{y} y

$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$

もちろん、直接置換することにより、制約のない問題に変換できます。

max_{y} u (x, y) = {(\frac{w - y p_{y}}{p_{x}})}^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

しかし、一般に、直接代入は（特に動的問題では）面倒な式を生成する可能性があり、代数的誤りが発生しやすくなります。したがって、ラグランジュ法には利点があります。さらに、ラグランジュ乗数は意味のある経済的解釈を持っています。このアプローチでは、などの新しい変数を定義し、「ラグランジュ関数」を作成します。 $\lambda$

Λ (x, y, λ) = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - p_{x} x - p_{y} y)

$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$

まず、そのノートで同等に右側に追加部分は同一ゼロであるので、。次に、2つの変数に関してラグランジュを最大化し、1次条件を取得します。 $\Lambda(x,y,\lambda)$ $u(x,y)$

\frac{\partial u}{\partial x} = λ p_{x}

$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$

\frac{\partial u}{\partial y} = λ p_{y}

$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$

を通して等式化すると、これは基本的な関係をすばやく提供 $\lambda$

\frac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$

この最適関係は、一緒に予算制約と二つの未知数で二方程式系を提供するなどの解決策を提供外因性パラメータの関数（ユーティリティ・パラメータとして、価格と与えられた富）。 $(x^*, y^*)$ $\alpha$ $(p_x,p_y)$ $w$

の値を決定するには、全体の各1次条件にとそれぞれ乗算し、次に辺を合計して $\lambda$ $x$ $y$

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = λ (p_{x} x + p_{y} y) = λ w

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$

Cobb-Douglas関数の場合と同様に、次数1の同次ユーティリティでは、

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = u (x, y)

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$

and so at the optimum bundle we have

u (x^{*}, y^{*}) = λ^{*} w

$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$

And this is how the Lagrange multiplier acquires an economically meaningful interpretation: its value is the marginal utility of wealth. Now, in the context of ordinal utility, marginal utility is not really meaningful (see also the discussion here). But the above procedure can be applied for example to a cost-minimization problem, where the Lagrange multiplier reflects the increase in total cost by a marginal increase in quantity produced, and so it is the Marginal Cost.

— Alecos Papadopoulos
ソース

This was a great explanation. Question: on Wikipedia's page on Lagrangian multipliers, it states However, not all stationary points yield a solution of the original problem. Thus, the method of Lagrange multipliers yields a necessary condition for optimality in constrained problems. does this mean the term "maximization" is incorrect? Because I thought necessary didn't imply sufficient but the converse did.

— Stan Shunpike

@StanShunpike Indeed, they are just necessary. They become sufficient when the objective function and the constraints have certain properties. For example, with linear constraints and quasi-concave objective function, they are also sufficient.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Another way of writing

u (x^{*}, y^{*})

$u(x^*,y^*)$ is the indirect utility function

v

$v$ , correct? Thus, if I'm not mistaken, this is an application of the Envelope Theorem, no?

— Mathemanic

2

I'd recommend you to work through this answer paragraph by paragraph, making sure you got each of them in turn, or you will get confused. You may even want to ignore later ones if it's not necessary for your purpose.

The main idea hear is that if the point is conditionall extremum, than it is necessarily a stationary point of the Lagrangian, i.e. such point, that all partial derivatives of the Lagrangian are zero in it. To solve the problem you should identify all stationary points and than find the maximum among them.

However in general this recipe is not entity reliable, as the maximum may not exist. Usually you may verify it's existence with Weierstrass theorem. It requires that fiction is continuous and the set is compact which is the case here. In general it means that you need to check any boundary points of the set in question, points $x= 0$ and points $y = 0$ .

In this case your equation is insufficient for solution, as the set you are considering is defined by inequalities rather than equalities. You may point out, that the function is monotonic in $x$ and $y$ , so the maximum is on the upper right boundary. Also the utility is 0 if $x = 0$ or $y=0$ , while there is feasible points where it is strictly positive, so the maximum can not be attained at either left or lower boundaries. Then this approach is completely justified.

In future you should be aware that problem if such type should be generally solved by applying Kuhn-Tucker Theorem and I recomend you to get acquainted with it after you grasp this material.

— Nikita Toropov
ソース

2

As others have noted, the essence of the Lagrange method is to convert a constrained-extremum problem into a form such that the FOC of the free-extremum problem can be applied. In your setup, you transformed the non-constrained problem ( $\max u(x,y)$ ) to:

Λ = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - (x p_{x} + y p_{y}))

$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$

If you assume that the restriction will be met, that is, that $xp_x+yp_y=w$ , then the last term will vanish independently of the value of $\lambda$ , so that $\Lambda$ will be identical to $u$ . The trick is to treat $\lambda$ as an additional choice variable, thus maximizing $\Lambda(x,y,\lambda)$ . Since the first order condition for $\lambda$ is

\frac{\partial Z}{\partial λ} = w - (x p_{x} + y p_{y}) = 0

$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$ we can be assured of the satisfaction of the constraint and the disappearance of

λ

$\lambda$ .

As for the interpretation of $\lambda_i$ (the Lagrange multiplier), in broad economic terms it is the shadow price of the $i$ th constraint. In your setup, where there's only a budget constraint, the shadow price is the opportunity cost of the budget constraint, that is, the marginal utility of budget money (income).

Another way to view it is that $\lambda$ measures the sensitivity of $\Lambda$ to changes in the (budget) constraint. In fact in can be proven that

\frac{d Λ^{*}}{d w} = λ^{*}

$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$

Notice that for this interpretation of $\lambda^*$ to make sense you must always express the constraint as $w-(xp_x+yp_y)$ , not as $(xp_x+yp_y)-w$ (like you wrote on your setup).

— han-tyumi
ソース