translogプロダクション関数における$ \ beta_ {ij} $の解釈は何ですか？

トランスログ作成機能は次のように定義されます。 $$ \ ln y = \ alpha_0 + \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ ln x_i + \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n \ \ beta_ {ij} \ ln x_i \ ln x_j $$

私はそれがCES生産関数の近似値であり、記録された一般的なcobbダグラス生産関数であることを単純化することを知っています。 $ \ beta_ {ij} = 0 $ 。

ただし、すべての場合（または単一の場合もあります） $ \ beta_ {ij} \ neq0 $ どのような解釈がありますか？

すなわち私は知っています $ \ alpha_i $ 「出力弾力性」として解釈される $ \ beta_ {ij} $ と解釈される？

あなたは解釈することができます $ \ alpha_i $ 弾力性として 入力係数について $ x_i $ 他の要因を守る $ x_j、j \ neq i $ 定数。 $ \ beta_ {ij} $ 生産における相補性の指標、すなわち、両方の要因のうち1パーセントをどれだけ追加するか $ x_i $ そして $ x_j $ 追加 $ y $ 。 0.5という因数があり、 $ \ alpha_i $ そして $ \ alpha_j $ 関連性もありますが、その解釈はそれほど簡単ではありません。

ちょっとしたスケッチが役に立つかもしれません。

最初に1次元の場合を考えます

$$ \ ln y = \ alpha_0 + \ alpha_1 \ ln x + \ frac {1} {2} \ beta_ {11} \ ln ^ 2x \ tag {1} $$

最初の順序で（つまり、無視する $ \ ln ^ 2 x $ ）、 ご了承ください

$$ \ frac {{\ rm d} \ ln y} {{\ rm d} \ ln x} = \ alpha_1 \ tag {2} $$

すなわち $ \ alpha_1 $ これは単に出力関数の対数勾配（別名：弾力性）なので、基本的に以下の2つのプロットの違いを識別するのに役立ちます。

2つ目の用語

$$ \ frac {{\ rm d} ^ 2 \ ln y} {{\ rm d} \ ln ^ 2 x} = \ beta_ {11} \ tag {3} $$

その要因には謎はありません $ 2 $ 式で（1）、物事を簡単にするためにそこにちょうど。繰り返しますが、これは出力関数の2次導関数にすぎません。そのため、以下の2つのケースの違いを見分けるのに役立ちます。

今トリックが来ます、

これはどのようにしてより高い次元に広がるのでしょうか。

まあ（1）式が成り立つ

$$ \ alpha_k = \ frac {\ partial \ ln y} {\ partial \ ln x_k} $$

そう $ \ alpha_k $ 他のすべての要因を一定に保つ弾力性です。あるいは幾何学的に $ \ boldsymbol {\ alpha} = \ nabla _ {\ ln {\ bf x}} \ ln y $ 。二次導関数（ヘッシアン）は単純に $ \ beta_ {jk} $

$$ \ frac {\ partial ^ 2 \ ln y} {\ partial \ ln x_k \ partial \ ln x_l} = \ frac {1} {2}（\ beta_ {kl} + \ beta_ {lk}） $$

エントリのある行列 $ \ beta_ {kl} $ 対角線、上の解釈は同じです、それは単に生産の凸性を表現しています。そうでなければ、行列の固有値を探す必要があります。

$$ \ boldsymbol {H} = \ frac {1} {2}（\ boldsymbol {\ beta} + \ boldsymbol {\ beta} ^ T） $$

なぜなら、それは常に存在し、本物だからです。 $ \ boldsymbol {H} = \ boldsymbol {H} ^ T $

の非線形の係数の意味のある解釈はありません。 $ x $ 生産機能の $ \ beta $ 項は、テイラー開発の2次に対応します $ \ log（y）$ Wrt $ \ log（x）$ そして、（置換パターンが非常に特定的である）相似コブ - ダグラスの場合を超える入力間の置換（または相補性）を許可します。の $ \ beta $ また弾力性を可能にする $ y $ Wrt $ x $ （または、企業が利益を最大化している場合は売上高に占める投入コストの割合）一定の条件から逸脱する $ \ alpha $ とで異なります $ x $ 。