連続した商品のある経済において最適な消費者

各点に対して1件の商品と、商品を連続して経済性を考える。 $[0,1]$

消費者が最大化したいとしの対象

うん = \int_{0}^{1} c_{私}^{θ} d 私 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

量である

、消費番目の商品

その価格と

消費者のお金の収入を。

\int_{0}^{1} p_{私} c_{私} d 私 = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

この種の問題は、たとえば、Dixit-Stiglitzモデルをマクロ経済学または国際貿易に適用する際に発生します。

この問題の解決策はおそらく予算制約が満たされることを確実にするために選ばれた定数です。

c_{私} = A p_{私}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

有限数の商品の場合と同様に、ラグランジュ乗数を使用するこの結果の導出にはあまり満足していません。上記の結果を導き出す完全に数学的に厳密な方法は何でしょうか？

任意の値を変更以来、唯一の解がないことは明らかと思われる値の有限数のためにの効用関数と予算制約変わらずに積分を残すだろう。完全に厳密な導出が、この程度の非一意性を正しく特定することも期待しています。 $c_i$ $i$

編集：@ BKay、@ Ubiquitousによるコメントへの応答。商品を含む経済で始まり、制限を取るという私の問題は、最適化の制限が制限問題の最適であることを示す議論を伴う必要があることです。この特定の問題またはこの問題に適用できる一般的な結果のいずれかを示す結果を参照していただければ幸いです。 $n$ $n \to \infty$

@AlecosPapadopoulosへの応答。経済学のための数学で教えられているラングレンジ乗数法の証明は、通常、有限数の選択変数に対するものです。一連の選択変数に対してメソッドが正当化される場所への参照をいただければ幸いです。また、私が上で言及した非一意性は、この方法が正確に正しくないことを示しています。次に、その有効性に必要な資格は正確に何ですか？

microeconomics mathematical-economics

— Jyotirmoy Bhattacharya
ソース

私はOPに同意します。スペースが無限次元になったときに多くの可能性が間違っている可能性があります。私にとって、最適の限界が限界の最適であることは全く明確ではありません。

— FooBar 14年

回答:

完全に厳密なことは、この変動の計算のオイラーラグランジュ方程式を書くことです。これは、あなたが持っているものである強力な解決策、または分布に関して書かれた弱い解決策を提供します。

— user157623
ソース

しかし、どのように予算制約を変動の計算に組み込むのでしょうか？

— Jyotirmoy Bhattacharya 14年

このリンク、チェックmath.stackexchange.com/questions/279518/...、ラグランジュ乗数機能を！、何が必要です、これはあなたにそれが支配的な措置で、ほぼ必ず保持しなければならないが、点状に解釈できる強力なソリューションを提供します

— user157623 14年

ありがとう。変動の計算を使用するヒントに続いて、コロモゴロフのセクション12で定理1を見つけました。フォーミンの変動の計算は、積分として表される制約を処理するようです。ある意味で、結局、ラングレンジ乗数を使用できます。

— Jyotirmoy Bhattacharya 14年

これは便利ですが、回答としてではなくコメントとして使用できます。

— アレコスパパドプロ14

あなたはまさにJyotirmoy Bhattacharyaです。誰かがそれを編集して、コメントで提供されているリンクを使って完全な回答にすることができます。

— user157623

OPがコメントで指摘したように、コロモゴロフのセクション12の定理1 とフォーミンの変動計算法は、変数の数が無限の場合に実際にラングレンジ乗数法を使用できるという安心感を提供するようです。それでも、著者は脚注で「読者はLangrange乗数との類推を簡単に認識するだろう」と書いています。いいえ、これは私たちが望むものを厳密に示していません。

私たちが必要とするのは、Craven、BD（1970）のような論文だと思います。ラグランジュ乗数の一般化。オーストラリア数学会の会報、3（03）、353-362。その要約には次のように書かれています：

制約付き定常値問題を解くためのラグランジュ乗数法は、関数が任意のバナッハ空間で（実フィールド上で）値を取ることができるように一般化されています。有限次元問題におけるラグランジュ乗数のセットは、関連するバナッハ空間間の連続線形マッピングに置き換えられることが示されています。

これは数学的な話ですが、聞きたいことを言っています（コンテンツを信頼する程度までウィキペディアで短い説明を見つけることもできます）。

次に、問題のラグランジュを形成することができます

Λ = \int_{0}^{1} c_{私}^{θ} d 私 + λ （ M - \int_{0}^{1} p_{私} c_{私} d 私 ）

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

そして、非公式に言えば、「積分を見て合計を見る」ことによって一次条件を計算します。

\begin{matrix} （1） & \frac{\partial Λ}{\partial c_{私}} = 0 \Rightarrow θ c_{私}^{θ - 1} = λ p_{私} 、 私 \in [0 、 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

...連続した条件。後で使用するために定義します

σ \equiv 1 / （ 1 - θ ） 、 \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ 、 θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

定数は、任意の2つの商品間の代替の弾力性でことが示されます。 $\sigma$

ライティング商品のためにと私たちは到着共通ラグランジュ乗数によって等化 $(1)$ $j$

\begin{matrix} （2） & c_{私} = {（ \frac{p_{私}}{p_{j}} ）}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

両側掛けとに関してcommmodityスペース上の積分を取る： $p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{私} c_{私} d 私 = \int_{0}^{1} p_{私}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d 私

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{私}^{1 - σ} d 私

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} （3） & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {（ \int_{0}^{1} p_{私}^{1 - σ} d 私 ）}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— アレコスパパドプロス
ソース

Kolmogorov-Fominの結果を機械的に適用すると、解決策が得られます。したがって、ラグランジュ乗数との類推に訴える必要はありません。私は別の回答でそれを書いています。

— Jyotirmoyバッタチャリヤ

これは、@ user157623によって与えられた答えの詳細です。便宜上、コミュニティWikiとして投稿しています。

コルモゴロフのセクション12とFominの定理の1 バリエーションの微積分を言います

$J [y] = \int_{a}^{b} F （バツ、 y 、 y^{'} ） d バツ、$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y （ a ） = A 、 y （ b ） = b 、 K [y] = \int_{a}^{b} G （バツ、 y 、 y^{'} ） d バツ = l 、$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} （ F + λ G ） d バツ、$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d バツ} F_{y^{'}} + λ （ G_{y} - \frac{d}{d バツ} G_{y^{'}} ） = 0。$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{私}^{θ - 1} + λ p_{私} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

唯一の問題は、定理自体の性質にあります。最適な条件を提供します。私たちの場合、必要な条件が独自の結果を与えることを考えると、私たちがそれを十分にするために必要なことは、私たちの問題に解決策があると主張することです。

Kolmogorov-Fominの証明は、扱っている関数が連続的な一次導関数を持っていると仮定しています。そのため、このクラスの関数では消費者の問題が最適であることを示す必要がありますが、問題は解決されています。

— Jyotirmoy Bhattacharya
ソース