代替および補完の両方を含むユーティリティ関数を導出

2良い世界では、不完全な代替物または補完物の効用関数から需要関数を導き出すのは簡単ですが、代替物と補完物の多くの組み合わせを含むN個の商品がある場合はどうなりますか？

たとえば、ホットドッグ、ハンバーガー（相互の代替）、およびマスタード、マヨ（相互の代替、ホットドッグとハンバーガーの補完）がある場合、次のように試すことができます。 $D$ $H$ $M$ $Y$

U (D, H, M, Y) = (D^{0.5} + H^{0.5}) (M^{0.5} + Y^{0.5})

$U(D, H, M, Y) = (D^{0.5} + H^{0.5})(M^{0.5} + Y^{0.5})$

残念ながら、この計算には数学がかなり早くなります。これらの方程式を解いてさらに詳しく説明する前に、このタイプの分析の文献で使用されている有名な関数はありますか？

注：4良いケースだけでなく、より一般的なN良いケースに興味があります。

utility

— ロブリット
ソース

これを行う一般的な方法は、ネストされたCES関数を使用することです。 CESウィキペディア

あなたの例では、サンドイッチ（S）と調味料（C）の効用を次のように定義できます。

U (D, H, M, Y) = (a_{1} S^{\frac{s - 1}{s}} + a_{2} C^{\frac{s - 1}{s}})^{\frac{s}{s - 1}}

$U(D,H,M,Y) = (a_1 S^{\frac{s-1}{s}} + a_2 C^{\frac{s-1}{s}})^{\frac{s}{s-1}}$

S

$S$

C

$C$

S = (b_{1} D^{\frac{ρ - 1}{ρ}} + b_{2} H^{\frac{ρ - 1}{ρ}})^{\frac{ρ}{ρ - 1}}

$S = (b_1 D^{\frac{\rho-1}{\rho}} + b_2 H^{\frac{\rho-1}{\rho}})^{\frac{\rho}{\rho-1}}$

C = (c_{1} M^{\frac{η - 1}{η}} + c_{2} Y^{\frac{η - 1}{η}})^{\frac{η}{η - 1}}

$C = (c_1 M^{\frac{\eta-1}{\eta}} + c_2 Y^{\frac{\eta-1}{\eta}})^{\frac{\eta}{\eta-1}}$

$s$ $s \rightarrow 0$ $s \rightarrow \infty$ $s=1$

$\rho$ $\eta$ $a$ $b$ $c$

$N$

— dsmithecon
ソース

ああ、素晴らしいアイデア、ありがとう！CES関数をネストするとは思わなかった。現在、方程式をいじっていますが、閉形式の需要関数を見つけるためのいくつかの癖があります。それらを見つけることが可能かどうか知っていますか？または、数値的手法を使用する必要がありますか？

— ロブリット

ええと、投影された勾配上昇を使用するのはかなり簡単なので、私はそれを先に進めます。

— ロブリット

これらのノートのセクション3.1を見てください。最初は明らかではないCESを扱ういくつかのトリックがあります。

— -dsmithecon

残念ながら、FOCを2つの別々の商品に分割するステップは、ネストされたCESでは機能しません。ネストされていない場合はキャンセルされますが、ネストされた場合はキャンセルされない合計用語があります。

— ロブリット