なぜCobb-Douglas生産関数はそれほど人気が​​あるのですか？

比較的初心者の定量アナリスト/コストアナリストとして、特定の組織の生産性のレベルを2回以上推定し、次の2、3期間を予測するように依頼されました。私が働いている場所は、フードバンク寄付の配布とボランティアの勧誘を専門とする比較的小規模な非営利団体（約30人）です。そのため、会社の規模がこれに関係しているかどうかはわかりません。

ほとんどの場合、パーセンテージの変更や弾力性ではなく、特定の単位を求められたので、2つの生産機能のうちの1つを提示せざるを得ません。

1. $$f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$$
2. $$f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$$

それでも、経済文学を読んでいると、コブダグラス（または石ジェリーのようなそのバリエーション）が常に使用されているのがわかります。

私は、それが数学的に単一の生産要素のスケーリングへのリターンの減少を示す特性を持っていることを知っていますが、私は自分の仕事のラインでそれを見るのが困難です。実物製作専用の生産機能ですか？

コブダグラスの生成関数が非常に人気がある理由は、統計的に厳密なままでありながら次の仮定が満たされるという事実に由来します¹。

コブ-ダグラス生産関数フォームを思い出してください：

$$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$$

ここで、（すなわち、資本に行く生産のシェア）$0<\alpha <1$

$1)$肯定的な限界製品：

$${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$$

$2)$限界製品の減少（すでに述べたとおり）

$${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$$

$3)$一定のスケールへのリターン（これはほとんどの生産プロセスが機能する方法です）

$$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$$

以下のための任意の（例：「ダブル入力ダブル出力」）$\lambda \ge 0$$\Rightarrow$

お役に立てれば！！

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_{¹出典：https : //en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

あなたの質問で示唆しているように、CD作成機能の人気の背後にある本当の根本的な理由（私の意見では）は数学的な便利さです。合計が「スケールに戻る」の直感的な表現であるという事実は非常に便利です。$\alpha + \beta$

その使用は、数学ファイナンスにおける指数関数的または電力ユーティリティの使用と類似していると思います。非現実的ですか？たぶん、しかし、ああとても扱いやすいです。

さて、前回の回答であなたの関数に戸惑い、私自身の回答を非常に混乱させたため、多くの暗黙の仮定を行ったと思います。だから今回はもう少し明確にしようと思います。最初の機能のみを検討します。

これがプロダクション関数である場合、は入力であり、出力は1つだけです。これで、プロダクション関数に次のプロパティがあります： and。これは、入力が互いに完全に独立していることを意味します。のみまたはのみで同じ出力に到達できます。入力が資本と労働である場合、これは意味がありません（少なくとも、生産プロセスのどこにも人間を必要としない完全に自動化された生産が完了するまでは）。どちらかが実際の世界で0の場合、出力が得られないためです。$x_i$$\frac{df}{dx_i}=\beta_i$$\frac{df}{dx_jdx_i}=0$$x_1$$x_2$

この考察により、モデルの生産方法は、資本と労働の混合が既に含まれていることを意味するものと信じるようになりました。その場合は、これらのさまざまな生産方法を最適化し、最適な方法を選択するだけです。コスト比に対するが最も高いもの。企業レベルでは、限界費用はほとんど一定であるからです。$x_1$$\beta_i$

これは、企業の観点から見て、合理的なモデルです。あなたはそれらの生産方法から選ぶことができるだけなので、資本と労働を一緒につぶしたという事実はあなたに関係しません。機能を最適化し、固定費を考慮して最良の生産方法を選択します。（推定）単純化は、拡張または生産が生産方法内の限界コストをどのように変更するかを考慮しないことです。

（拡大が経済的規模である場合、より多くの労働者を雇用することで労働者の賃金を上げるでしょう、それはいつかより資本の多い生産方法を選ぶことになるでしょう）

経済学者はこれを別の角度からアプローチします。彼らは資本/労働の比率に関心があり、具体的な生産方法には関心がありません。彼らは、資本と労働力を入力として受け取り、その入力から最適な生産方法を選択し、出力を返す関数を求めています。彼らの仮定は、このスケールでは非常に多くの異なる生産方法があり、それらをブラッシュして基本的に資本と労働で継続的な機能を得ることができるということです。

彼らは、Cobb-Douglas関数が提供するプロパティを持つモデルを求めています。$\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

あなたは基本的に粒子シミュレーションと流体シミュレーションを比較しています。単一の水分子をモデル化する方程式は、水の流れのモデル化とは異なります。そして、一方はもう一方とは何の関係もないように見えるかもしれません。

私が考えたもう1つの可能性は、この関数は実際には出力を生成するコスト関数であるということですが、定義により、固定限界コストがあります。これも、マクロレベルではなく、ミクロレベルでは妥当な仮定です。$(x_1, ...,x_n)$$x_i$

Cobb-Douglas生産関数は非常に人気があります。これは、明示的に入力需要（および出力供給）関数を計算できる非常に数少ない関数の1つだからです。Cobb-Douglas生産関数は、通常、学士レベル（講義、試験、演習）で使用されます。これは、一次条件のシステムを解くことができるためです。ただし、この関数形式は非常に限定的であり、その有効性は経験的に拒否されています。そのため、マスターレベルでは、生産関数に無制限の形式を使用してミクロ経済理論を再表現し（たとえば、Mas Colell et al。の教科書を参照）、暗黙の関数定理または双対理論を使用して、比較静的結果を導き出します。