独占は単なる数学的な誤解です

ちょっと頭をかきむしります（そして、表記に注意する必要がある良い例です）。

価格を超えて解決する利益を最大化する独占を考えてください

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

ルーチンの手順に従う（この投稿を参照）

利益最大化価格では、需要の価格弾力性は絶対値でより大きく、代数的条件では-1未満でなければならないという重要な結果に到達します。つまり、利益最大化価格で− $1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

ただし、$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$は、$PQ(P)$および$PQ(P) = TR$、総収益の導関数です。したがって、$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$、限界収益、利益最大化価格で、絶対値で1より大きい弾性を得るためには$1$、MR ^ *が必要であることがわかりました。<0$MR^* <0$。

しかし、利益最大化ポイントでは$MR^*=MC^*>0$。

したがって、解決策は存在しないため、独占は数学的な誤解に過ぎないと結論付けます。

今、私はこのニヤニヤする投稿を書くためにトラブル（？）に入りました、誰かがトリックの場所を指摘するために明確な答えを書くのに必要な数十秒に入ることを願っています。

$PQ(P)=TR$、総収入。

PQ（P）P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$の誘導体であるに対して。$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$（限界収益）は、に関するの導関数です。$TR$ $Q$

したがって、一般的に$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

@AdamBaileyの詳細な回答を補完するために、この投稿の目的は、関心のある読者に私たちの思考における決定変数の変化の結果を警告することでした。

私たちは、需要を「量に応じた価格」または「価格に応じた数量」のいずれかと考えることに慣れています。しかし、生産コストの面では、販売価格ではなく数量に応じてコストを自動的に考える傾向があります。

そのため、記法で少し面倒に明示的であっても報われます（動的最適化、たとえばCaputoの本などについて質問してください）。特定の例では、記号、、は決定変数を明らかにせず、これが策略の元になった場所です。しかし、私たちが書いた場合$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

最終決定変数が価格であることを明確に示します。

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

また、私たちは明らかにそれを見るでしょう

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

そして、需要の価格弾力性に関する要件は、

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

（）。したがって、最適な時点では、数量に関する限界収益はプラスになりますが、価格に関する限界収益はマイナスになります。$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$