対数線形化されたニューケインズモデルでは、

これは奇妙な質問かもしれませんが、残念ながら条件に戸惑っています。ここでGaliによって提案されているように、対数線形化された新しいケインズモデルを想定します。http：//crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

私の最初の質問は明らかに安定した値であり、$Y$の対数線形化を行うと想定される$Y_t$、出力を、これである$Y$一定の値、または全体の安定した出力パス？同様に、は、長期的な自然率に従って確率的要因やエラーなしにY $Y$が進化した場合、出力はどのように進化するのでしょうか。$Y_t$

最初の質問に関連する私の2番目の質問は、$Y_t$が総出力と正規化された出力のどちらを指すかです。つまり、経済の生産高成長率が正しければ、$Y_t$成長するでしょうか？または、確率的要素がなければ変化しない正規化された出力ですか？

私の3番目の質問は何であり、$y_t$実際に意味します。私が理解しているように、それは単に$\log Y_t$です。これは正しいです？

消費オイラー方程式が存在するという事実は、実質金利が経済にプラスになることが多いため、$Y$は一定の安定した値ではなく、安定した出力パスであるという直感をサポートするようです。私の混乱はすべてここから生じ、これが正しい理解であるかどうかはわかりません。

リンクするGalíプレゼンテーションのスライド11に記載されているように、対数線形化は、ゼロインフレ、一定の出力、限界コストに対する一定のマークアップを伴う定常状態の近傍で実行されます。したがって、は実際には一定値、つまり対数線形化が実行される定常出力レベルであることが意図されています。Y tは、期間tにおける総出力のレベルですが、y t = log Y tは、総出力の対数値です。$Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

ここで関連があると思われるいくつかの追加ポイント：

• 基本的なニューケインジアンモデルのこの導出は、定常トレンドの出力成長が存在しないという仮定の下で実行されます。このゼロ成長定常状態からの偏差が十分に小さい状況では、対数線形化された方程式がほぼ正確であることを確認できます。明らかに、私たちは著しくプラスのトレンドの成長がある世界に住んでいるので、これは潜在的に問題です-これはあなたの側で非常に有効な懸念です。
• 偶然にも、生産性の上昇がプラスのトレンドである定常状態の周りを対数線形化すると、方程式は非常に似ていると思います（ただし、インフレの仮定がゼロのトレンドを維持します）。特に、出力ギャップとガリの式（10）のように自然利子率の点で述べたように、異時点間のオイラー方程式は正確にいえなお、定常状態の天然レート（同じでありはより高く、ここでg aはログトレンドの生産性の成長率です）。ニューケインズフィリップス曲線は少し厄介です。ログ設定の場合σ = $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$、いくつかの素晴らしいキャンセルがあり、同じNKPCを取得しますが、他の、将来のインフレの割引率はβではなくなります。しかし、これは対処するのがはるかに面倒です。そのため、ガリは単純な説明のためにそれを回避し、ゼロ成長の定常状態で立ち往生しました。$\sigma$$\beta$
• 上記のように、、Y t、y tはいずれも「正規化された出力」ではありません。しかし、GDPギャップ〜Y T ≡ yのT - Y N Tガリーの式で定義されている（7）は、ログ「自然の出力」オフ減算、効果的に正規化されたログ出力であるY N トンを我々は柔軟な価格の世界に期待すること与えられたログ生産性a t。この意味で、モデルは生産性の変動に対応できます。しかし、前述のように、これらの変動が大きすぎる場合、ゼロのトレンド成長を中心とした対数線形化が崩れ始め、$Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$これを説明するには、NKPCを別の形式で書き直す必要があります。$\sigma\neq 1$
• 最後に、私は最後の段落で少し混乱していますが、「実質金利は経済にとってプラスになることが多いため」、モデルにはプラスの成長率がある可能性があることを示唆しているようです。これは誤解です。モデルのエージェントは割引率純粋な時間優先を持っているため、このモデルの定常状態の実質金利は正です。あなたはGALIの式（10）の下に見れば、あなたは何の生産性の変化がないとき、「自然な」実質金利があることがわかり、R nは、T = ρ、ρ = - ログβ。$\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

次の投稿では、モデルをログに線形化したときに正確に何が起こっているかについて、やや簡単な方法で説明しています。

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

提供されている例に目を通すと、シングルステップが何であるかが明確になります。

完全な開示：講義ノートで特に注意深く読んだことはありませんが、質問にお答えできると思います。

編集：頭を上げて、質問によって提供されたリンクを注意深く読まなかったため、何かを逃しました。

標準の新しいケインジアンモデル（提示されたガリなど）は、成長せずにモデル化されます。モデルを書き留めると、差分方程式として表すことができます。

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

ここで、は関連するすべての変数を含み、Z tは経済へのショックを表します。「定常状態」とは、通常、X tが一定（差分/微分方程式の安定解と考える）およびZ t = 0である世界の状態を指します。したがって、次の解として記述できます。$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

この場合、は定常状態の値になります（時間の添え字ではないことに注意してください-オーバーヘッドバーsteady Xで定常状態を示すことによって行われることもあります）。これは彼がYと呼んでいるものであり、定数値です。$X$$\bar{X}$$Y$

2番目の質問については、私は必ず100％にすることはできませんので、私は、慎重に読んでいないが、変数は次のように書かれているとき、通常それはあなたがモデルを解決し、それをシミュレートした場合、別名（取られる実際の値を参照します正確には、これはそれが持つであろう値です）。$X_t$

3番目の質問については、対数線形化を深く理解することで解決できると思います。中心となる対数線形化は、定常状態を中心としたテイラー展開にすぎません。一般的な式考えます。対数線形化には3つの基本的なステップがあります（ここで私の記憶を更新しました）。$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• ログを取る
• 一次テイラー展開
• 代数

まずログを取ります

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

定常状態を中心に一次テイラー展開を行うと、次のように記述できます。

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

したがって、次のように書くことができます。

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

定義します$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

最後に2つ。最初に、偏差率と真の値を初めて切り替えたときに気が付かなかった1つの微妙な点に気づきたいかもしれません。通常は負ではない値は、定常状態より低いパーセンテージであることを意味するだけなので、負になる可能性があります。第2に、おそらく提示された対数線形化された方程式で見たように、通常、関数形はこれらを非常にうまく単純化します。

$y_t := \log Y_t$

これがお役に立てば幸いです。