連続時間で完全な市場

有限数の状態を持つ標準的な離散時間経済では$n$、完全な市場経済は、$n$独立した資産を持つ経済です（Think Ljunqvist and Sargent Chapter 8）。これは、明日の一連の州にまたがるには$n$独立した資産で十分だからです。

先週、教授と話し合いましたが、彼は、資産価格について考えるときの連続時間の便利さの1つは、連続時間経​​済内で、リスクのない債券とリスクのある資産だけで完全な市場を手に入れることができると述べました（独立）経済のブラウン運動ごとに。

彼は私たちが話しているときにそれを説明したので、私はほとんどそれを理解していると思いますが、誰かが詳細を書き留めてくれるかどうか疑問に思っていましたか？

今週はおそらく1日か2日を費やします（微分計算の特性によって異なります）。

私はこのような連続時間の質問に答えるべき最後の人ですが、他に誰もいない場合は試してみると思います。（ぼんやりと記憶された継続時間の財務の修正は大歓迎です。）

私の印象は、これがマーチンゲール表現定理の結果として最もよく解釈されるということです。ただし、最初に表記法を大まかに確立します。確率空間を独立したWienerプロセス（Z 1 t、t = r t S 0 t d t、資産i = 1 、… 、nはそれぞれ危険であり、対応するZ i tによって駆動される： d S i t$n$ます。そこであるとする N + 1の値資産、 Iで番目の資産 tはによって与えられる S I T。資産 i = 0はリスクのない債券 d S 0であると仮定し$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$ m 0 = 1に正規化され た厳密に正のSDFプロセス m tがあり、 m

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$便利であろうドット積として。）各々に対するマルチンゲールであるI（SDFの基本的定義）と D、MT=νTDT+ψT⋅DのZのT （I利用$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

最後に、聞かせて次元ベクトルθ トン時間で当社のポートフォリオもトン一定の確率論的に等しくなるようにY時まで完全な履歴アップに依存することができ、$n+1$$\theta_t$$t$、純資産のようなで与えられるA 、T = θ T ⋅ S トン。仮定し、A 0は固定され、そのさらには我々が持っている D A T = θ T ⋅ D S T 今、私は完全な市場の本質を捉えた、目的を述べます。世界が時間Tで終了し、純資産A Tが欲しいとします$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$ます。と仮定すると、完全な市場を持つ世界では（t = 0で）初期資産A 0を使用して時間t = Tの支払いYを購入できます。これらの直接の完全な市場が存在しない場合には、疑問があるかどうかであるにもかかわらず、ポートフォリオのためのいくつかの戦略θのトン私たちが得ることができるようになりますA $A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$世界のすべての州で Y。そして、この設定での答えはイエスです。$A_T=Y$

まず、一つは計算することができ。したがって、m t $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$はマーチンゲールであることは、 m t A tがマーチンゲールであることを意味します。したがって我々は、A T = Yを⟺ M T A T = M T Y IFF M T A T = EのT [ M $m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$ すべてのための T ∈ [ 0 、T ]。これは、仮定により t = 0に当てはまることに注意してください。したがって、平等を得るには、増分が両側で常に等しいことを証明するだけです。

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

今マルチンゲール表現定理がでてくる。ので、、我々はマルチンゲール書くことができるされている E T [ M T Y ] = E 0 [ M T Y ] + ∫ T 0 φ S ⋅ D Z の 一部について予測可能なプロセスϕ s。我々は、表示できるようにする必要があるので、D （M T A 、T）= φ T ⋅ $E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$。書き込み D （メートルトンA 、T）= Σ I（メートルトンθ I T σ I T + A T ψ I T）D Zが T σ I T + A T ψ 私トンを = φ I Tの各リスク資産のために、私は= 1 $d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ 私たちが私たちに必要なことがわかりメートルトンθ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$、我々は必要なポートフォリオの選択肢を与えるために反転させることができた θ I T： θ I T = φ I T - A T ψ I $i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ 無リスク資産のポートフォリオの選択をθ 0 トン、その後からバックアウトすることができ、A、T=θT⋅Sトン。 $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

ここでの直感は簡単です。等式m t A t = Eを維持するには、常に調整する必要があり$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

私はこれを長い間投稿するつもりでした。私はこれに出くわし、それがいくつかの洞察を追加できると思った。この例は、Munkの「Financial Asset Pricing Theory」からのものです。

次の図を検討してください。完全な市場を持つために必要な資産はいくつですか？

$N$$N$

（i）不確実性は一度に完全には明らかにされませんが、少しずつ明らかになります。（ii）資産を動的に取引できます。この例では、時間0から時間1までの経済の3つの可能な遷移があります。1期間の分析から、この不確実性を「広げる」には3つの十分に異なる資産で十分であることがわかります。時間1から時間2には、時間1の経済状態に応じて、2、3、または1つの経済の遷移があります。せいぜい、この期間の不確実性にまたがる3つの十分に異なる資産が必要です。合計で、両方の期間で3つの十分に異なる資産にアクセスできれば、配当プロセスを生成できます。

より一般的な有限状態の離散時間市場の一般的な多項ツリーバージョンの場合、ツリー内の各ノードに対して、そのノードを出るサブツリーのブランチの数としてスパニング番号を定義できます。ツリー内のいずれかのノードについて、次の期間の線形独立取引資産の数がスパン数に等しい場合、市場は完成します。

ここで、不確実性がd次元の標準ブラウン運動によって生成される連続時間モデルの場合、引数は複雑ですが、Munkは前の議論に基づいていくつかの洞察を与えます。

次の観察結果から、結果は非常に直感的です。

1. 一瞬の連続的な変化については、平均と分散のみが重要です。
2. 我々は、d次元ショック近似することができるをとる確率変数によってD + 1の可能な値と同じ平均と分散有し、$dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. 継続的な取引により、外因性ショックに対するエクスポージャーをあらゆる瞬間に調整できます。

$d+1$$d+1$